Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 12 )

В результате решения задачи в конечно-разностной форме мы получаем значения искомой функции в точках (Рис.15), которые являются приближенным решением исходной задачи. На практике полагают , тогда расчетная формула упрощается и принимает следующий вид:

.

Данная расчетная формула дает наилучшее приближение к искомому решению, обеспечивая устойчивость конечно-разностной схемы и наилучшую аппроксимацию исходного уравнения конечно-разностным.

Заметим, что идея метода сеток, которая заключается в замене исходной области сеточной и замене исходной задачи конечно-разностным аналогом, используется при решении других типов уравнений в частных производных.

В случае неявной схемы используется другой вид аппроксимации и новое соотношение между шагами и в виде . Исходное дифференциальное уравнение (51) аппроксимируется конечно-разностным уравнением вида

(54)

Начальные и граничные условия остаются теми же, что в предыдущем случае. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (54) применяется метод прогонки.

Суть метода прогонки состоит в том, что сначала вычисляются значения , выбирается значение с целью получения требуемой скорости продвижения оси . Обозначим , , , . В прямом ходе на очередном временном слое вычисляются вспомогательные функции:

В обратном ходе вычисляются значения искомой функции на слое по формуле . Величина является значением искомой функции в точке , а - в точке . Погрешность метода . Из анализа устойчивости неявной схемы вытекает, что следует назначать .

8.2. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.

Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины (). Поперечное сечение при для любого момента времени удовлетворяет уравнению гиперболического типа вида:

(55)

где , и будем искать решение уравнения (55) при заданных начальных и краевых условиях:

, , при (56)

при (57)

Решим эту задачу методом сеток. Как и в случае параболического уравнения, заменим прямоугольную область и сеточной , где , , . Шаг по оси - , шаг по оси - .

На сетке приближенно заменим дифференциальное уравнение (55) конечно-разностным аналогом:

(58)

При уравнение (58) упрощается и принимает вид:

откуда

(59)

Из уравнения (59) видно, что для получения значений в -м слое используются значения в двух предыдущих слоях -м и -м. Для начала вычислений по формуле (59) также необходимо знать значения и на нулевом слое . Используя начальное условие , можно определить значения на фиктивном слое с номером . Для этого заменим производную в условии конечно-разностным соотношением: , где . Отсюда находим . Зная значения на слое , можно начать вычисления. Краевые условия (59) используются для получения значений и .

9.  Крылова для нахождения КОЭФФИЦИЕНТОВ характеристическОГО МНОГОЧЛЕНА.

Этот метод позволяет построить для заданной матрицы характеристический многочлен , который можно записать в виде:

Согласно теореме Гамильтона-Кэли сама матрица удовлетворяет характеристическому уравнению , а значит . Умножим это равенство на произвольный вектор и получим . Обозначив , , …, , будем иметь . Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений относительно коэффициентов характеристического многочлена

,

где - координаты вектора . Решив эту систему каким-либо известным способом, получим коэффициенты характеристического многочлена . При неудачном выборе начального вектора рекомендуется выбрать другой вектор и повторить процесс вычислений снова.

Литература

3.1. Основная литература

1.	Самарский А. А., Гулин  методы. М.: Наука, 1989.
2.	Демидович Б. П., Марон  вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966.
3.	Калиткин  методы. М.: Наука, 1978.
4.	Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова  методы анализа. М.: Наука, 1967.
5.	Бахвалов  методы. М.: Наука, 1987.
6.	Марчук  вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
7.	Волков  методы. М.: Наука, 1987.
8.	, Горбунов малого параметра для решения задач анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных функциональных зависимостей. //Изв. вузов, Авиационная техника, 1998, №4, с.3-10.

3.2. Дополнительная литература

1.  Иванов В. С., Ляшев  практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984.

2.  Вахонина руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.

3.  Горбунов Д. А., Вахонина  численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.