Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 6 )

Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по формулам вида:

Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:

.

Учитывая, что таблица приведена для функции , вычисленной в контрольных точках , сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке :

и .

Погрешность вычислений, по сравнению с истинным значением, составляет

.

Ниже приведены графики синусоиды и построенного многочлена Лагранжа на заданном интервале. Из графика видно, что многочлена второго порядка достаточно для обеспечения необходимой точности воспроизводимой синусоиды.

4.2. Первая интерполяционная формула Ньютона.

Если таблица, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается. Обозначим через . Тогда

;

;…, .

С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так:

.

Запишем формулу Лагранжа в случае, если :

.

Получили формулу линейной интерполяции вида.

.

Здесь - табличные разности первого порядка.

При получаем формулу квадратичной интерполяции вида

.

Здесь - табличные разности второго порядка.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:

.

Остаточный член формулы имеет вид:

, где ,

- точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку . Первая интерполяционная формула рекомендуется для интерполяции в начале таблицы.

4.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется при вычислении функции для значений , близких к концу таблицы и для продолжения таблицы. Обозначим через , тогда . Тогда получим следующую формулу Ньютона:

.

Погрешность формулы имеет тот же смысл, что и в первой формуле Ньютона.

4.4. Применение интерполяционных многочленов для приближенного вычисления производных функции.

Интерполяционные многочлены могут быть использованы для приближенного вычисления первой, второй и производных других порядков для функций, заданных таблицей или для функций, имеющих сложный аналитический вид. При этом погрешность будет достаточно велика даже для нахождения первой производной. Проблема состоит в том, что значения многочлена и функции в узловых точках совпадают, но значения производных в них не совпадают, т. е. тангенсы углов наклона в каждой точке не равны.

Значения производных в узловых точках, заданных в таблице, приближенно можно вычислить по формулам вида:

Более точные значения производных можно получить, если предположить, что . Тогда получим:

.

Аналогично можно получить и т. д.

4.5. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

(16)

где . Однако, во многих случаях не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (16) может быть затруднено или даже практически невыполнимо. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках .

Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными формулами.

Рассмотрим способы вычисления однократных интегралов.

Если воспользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию полиномом , получим равенство

(17)

где - ошибка этой квадратурной формулы.

Пусть требуется вычислить интеграл , где . Выбрав шаг , разобьем отрезок на равных частей с помощью равноотстоящих точек , , , . Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа и получим приближенную квадратурную формулу

(18)

Выведем явные выражения для коэффициентов формулы (18). Многочлен Лагранжа имеет коэффициенты

, .

Вводим обозначения и и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде: