Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 2 )

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , т. е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяем те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления (метод дихотомии).

1.1. Метод половинного деления.

Для уточнения корня нелинейного уравнения (1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков и выбираем тот, на котором функция меняет знак. Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т. д. Получим последовательность отрезков , на концах которых выполняется неравенство , где . Последовательность является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью; а - монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Следовательно, существует предел:

.

Тогда .

до тех пор, пока не будет получен корень с заданной точностью.

Кроме метода дихотомии для уточнения корня на применяются итерационные методы (методы последовательных приближений).

1.1. Метод простых итераций.

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(2)

Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

(3)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

, (4)

тогда процесс итераций (3) сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения (2) на . Точка называется неподвижной точкой для уравнения (2).

1.2. Геометрическая интерпретация метода простых итераций.

Построим два графика: и . Абсцисса точки пересечения графиков – корень . Построим итерационный процесс. Зададим . Вычислим – первое приближение и – второе приближение. В первом случае (Рис.5) процесс сходящийся (). Во втором случае (Рис.6) процесс расходящийся ().

1.3. Приведение нелинейного уравнения к виду , допускающему сходящиеся итерации.

Выполнение условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения к эквивалентному виду следующим образом: умножим обе части уравнения (1) на , затем прибавим к обеим частям по , тогда . Обозначим , тогда . Константа выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (4), т. е. . Это условие равносильно , отсюда при и при .

Требуемую точность вычислений можно обеспечить путем использования оценок приближения к корню :

1) ; 2)