Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 3 )

При второе неравенство примет вид . Таким образом, если , то . Очевидно, что чем меньше , тем быстрее сходится процесс итераций. Практически грубую оценку приближенного решения можно получить без дополнительных вычислений при . В этом случае (Рис.7) итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны корня, так что корень заключен в интервале . Это надежная, хотя и грубая оценка, но она неприменима при , когда итерации сходятся к корню монотонно, т. е. с одной стороны. Вблизи корня итерации сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших членов прогрессии не превосходила , должен выполняться критерий сходимости

.

При выполнении этого условия процесс итераций можно прекращать. Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства:

- являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком – либо шаге итераций не отразится на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости.

- позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении .

Недостатки методов:

- трудность приведения уравнения (1) к виду (2).

- если начальное приближение далеко от корня, то число итераций достаточно большое. Объем вычислений возрастает.

Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев:

1)  Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величину : . Этого критерия недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но может находиться далеко от корня.

2)  Мера удовлетворения уравнению последнего приближения корня: . Отдельно второго критерия недостаточно, так как при пологой функции условие может быть выполнено, но может быть далеко от корня.

Пример. Методом итераций найти корни уравнения .

Для нахождения интервала расположения корней воспользуемся графическим методом. Для этого преобразуем исходное уравнение к виду и построим два графика и (Рис.8). Абсцисса точки пересечения этих графиков является приближенным значением корня . Более точные значения можно получить по итерационной формуле (3). Из рисунка видно, что корень находится на отрезке . Выберем ; , . На концах отрезка функция меняет знак на .

Запишем исходное уравнение в эквивалентном виде: , где . Выберем . Для получения корня процесс итераций сходится, так как .

Таким образом, рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

.

1.4. Метод Ньютона (метод касательных).

Пусть уравнение (1) имеет на интервале единственный корень, причем существует непрерывная на производная . Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если . Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

(5)

Геометрически (Рис.9) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой касательной к ней в точках .

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

(6)

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

.

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения (1).

Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостатки метода:

- не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при том, для которого .

- если , то .

- если , то .

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула при этом имеет вид

.

2. Решение систем нелинейных уравнений.

Система нелинейных уравнений имеет вид:

(7)

Здесь - неизвестные переменные, а система (7) называется нормальной системой порядка , если хотя бы одна из функций нелинейна.

Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Уточнение решений в заданной области – более простая задача.

Пусть функции определены в областях . Тогда область и будет той областью, где можно найти решение. Наиболее распространенными методами уточнения решения являются метод простых итераций и метод Ньютона.