Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 5 )

Если в исходной системе (12) преобладание диагональных элементов над остальными коэффициентами значительное, то сходимость итерационного процесса обеспечена. В этом случае переход от исходной системы (12) к виду (13) можно осуществить путем деления каждого уравнения системы (12) на коэффициент , формирования столбца в левой части и переноса остальных членов в правую часть. Введем обозначения . Тогда

.

Рабочая формула итерационного процесса имеет в этом случае следующий вид:

Начальное приближенное решение можно взять произвольно, например, равным столбцу свободных членов . Далее последовательно получаются приближения . Если для преобразованной системы (13) выполнено по меньшей мере одно из достаточных условий сходимости, то процесс итераций (14) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Для системы (12) метод итераций сходится, если выполнены неравенства , т. е. модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Итерационный процесс следует закончить, когда два последовательных приближения близки между собой по норме , где - заданная точность.

3.2. Метод Зейделя.

Более быструю сходимость метода простых итераций можно обеспечить, если для каждой -ой компоненты вектора решения приближения использовать предыдущие компоненты от 1 до также приближения, а остальные компоненты от до используются от предыдущего -го приближения. Такая модификация метода простых итераций носит название «метода Зейделя». Запишем рабочие формулы метода Зейделя для каждой компоненты:

.

Первое и второе достаточные условия для сходимости метода простых итераций будут одновременно достаточными и для процесса Зейделя.

При использовании итерационных методов для решения систем ошибка вычислений в большинстве случаев эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения. Это отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного результата.

4. интерполиРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда:

-  функция задана в виде таблицы, и необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов, расположенных в таблице между узлами , а также для аргументов, расположенных вне таблицы;

–  известна лишь таблица функции и требуется определить ее аналитическое выражение;

–  известно аналитическое выражение функции, но оно имеет очень сложный вид, вследствие чего возникает необходимость представления этой функции в более простом виде. Например, при вычислении определенных интегралов вида можно заменить подынтегральную функцию некоторой приближенной функцией в виде многочлена. Тогда .

Построив интерполяционный многочлен любого вида также можно расширить таблицу как влево, так и вправо, вычисляя построенный многочлен в точках, не принадлежащих таблице (задача экстраполяции). Кроме того, построив интерполяционных многочлен, можно уплотнить таблицу, определяя значения функции для промежуточных аргументов между узловыми точками.

4.1. Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть задана система точек , в которых известны значения функции . То есть, задана следующая таблица

			…
			…

Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть . Лагранж предложил строить многочлен степени в виде:

.

Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка , которой соответствует коэффициент .

Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие :

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

.

Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.

С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде

Остаточный член формулы:

,

где - точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Пример. По заданной системе точек

	0.5	0.707	1.0

построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида: