Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 8 )

Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса.

6.1. Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)

(17)

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение задачи Коши (17) на отрезке . Находим решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок на равных частей и построим последовательность где - шаг интегрирования. Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :

Полученное соотношение можно переписать так

(18)

Если считать подинтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:

(19)

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (19) следующим образом. По заданным начальным условиям и полагая в выражении (19) вычисляется значение

(20)

Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (19) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как

(21)

Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

(22)

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

(23)

где - шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (23) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .

6.2. Метод Рунге-Кутта.

Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность.

Пусть на отрезке требуется найти численное решение задачи Коши (17), где . Как и в предыдущем методе разобьем этот участок на равных частей и построим последовательность значений аргумента искомой функции . Предполагаем существование непрерывных производных функции до пятого порядка.

Выражение (18) можно переписать в виде:

(24)

где - приращение искомой функции на -ом шаге интегрирования.

Придадим аргументу приращение, равное шагу интегрирования , и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , сохранив в нем пять членов:

Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что

(25)

Здесь производные определяются последовательным дифференцированием уравнения (16).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (25) в методе Рунге-Кутта для каждого значения определяются четыре числа:

(26)

Доказывается, что если числа последовательно умножить на и сложить между собой, то выражение:

. (27)

Формула Рунге-Кутта имеет погрешность .

Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта для интегрирования .

В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое следующее значение вычисляется непосредственно по единой формуле (19), в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных вычислений по формулам (26) и (27).

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы второго порядка (22). В этом случае приращения и вычисляются по формулам: