Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 4 )

2.1. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений.

Из исходной системы (7) путем эквивалентных преобразований переходим к системе вида:

(8)

Итерационный процесс, определяемый формулами

,

можно начать, задав начальное приближение . Достаточным условием сходимости итерационного процесса является одно из двух условий:

или .

Распишем первое условие:

при

при .

Распишем второе условие:

при

при .

Рассмотрим один из способов приведения системы (7) к виду (8), допускающему сходящиеся итерации.

Пусть задана система второго порядка вида:

.

Требуется привести ее к виду:

.

Умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразованной системы

где .

Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразованной системы будет иметь вид

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными для определения постоянных :

.

При таком выборе параметров условия сходимости будут соблюдены, если частные производные функций и будут изменяться не очень быстро в окрестности точки .

Чтобы решить систему, нужно задать начальное приближение и вычислить значения производных и , в этой точке. Вычисление осуществляется на каждом шаге итераций, при этом , ,.

Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более быструю сходимость.

2.2. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений вида (7). Предположим, что решение существует в некоторой области , в которой все функции непрерывны и имеют, по крайней мере, первую производную. Метод Ньютона представляет собой итерационный процесс, который осуществляется по определенной формуле следующего вида:

(9)

где

Трудности при использовании метода Ньютона:

-  существует ли обратная матрица?

-  не выходит ли за пределы области ?

Модифицированный метод Ньютона облегчает первую задачу. Модификация состоит в том, что матрица вычисляется не в каждой точке, а лишь в начальной. Таким образом, модифицированный метод Ньютона имеет следующую формулу:

(10)

Но ответа на второй вопрос, модифицированный метод Ньютона не дает.

Итерационный процесс по формулам (8) или (10) заканчивается, если выполняется следующее условие

.

Достоинством метода Ньютона является его быстрая сходимость по сравнению с методом простых итераций.

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

(11)

или в матричной форме

. (12)

3.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим решение этой системы методом простых итераций. Для применения этого метода необходимо предварительно преобразовать систему (12) к виду

, (13)

где матрица такова, что выполнены достаточные условия сходимости итерационного процесса : или .

Зададим произвольно начальный вектор приближения и подставим его в правую часть преобразованной системы уравнений. Получим первое приближение . Аналогично получим . Итак, итерационная формула

(14)

или в координатной форме:

(15)

осуществляет итерации по “совокупности координат”. Последовательность векторов , полученных по этой формуле, сходится к решению, если выполнены вышеприведенные достаточные условия сходимости.

Пусть , тогда, переходя к пределу в равенстве (14), имеем

или имеет место формула (13). Следовательно, вектор - решение системы.