Математика (стр. 2 )

2.  Основные теоретические вопросы курса

1 семестр

1.  Понятие уравнения линии. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой.

2.  Общее уравнение кривой второго порядка. Канонические уравнения окружность, эллипса, гиперболы и параболы. Их свойства.

3.  Матрицы и действия над ними. Определители и их основные свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.  Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Матричная запись и матричная форма решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

5.  Определение предела функции в точке. Вычисление пределов функций. Неопределённости, возникающие при вычислениях пределов и элементарные примеры раскрытия неопределённостей.

6.  Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.

7.  Какие задачи приводят к понятию производной? Приведите решение одной из них. Дайте понятия и приведите примеры сложных и неявно заданных функций. Как дифференцировать сложные и неявные функции?

8.  Нахождение уравнения касательной к кривой графика функции в некоторой точке.

9.  Производные высших порядков. Физическая интерпретация второй производной.

10.  Частные производные и дифференциалы. Частные производные высших порядков. Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов.

11.  Решение задач с использованием частных производных: применение полного дифференциала в приближённых вычислениях.

12.  Решение задач с использованием частных производных. Минимум и максимум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

1. Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия - раздел математики, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе этого лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет определять положение любой точки плоскости парой чисел, которые называются координатами точки М(х;у). Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой.

На рисунке указаны знаки координат в четырех координатных плоскостях декартовой системы координат.

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.

1.  Расстояние между двумя заданными точками

:

(1.1)

2.  Площадь треугольника с координатами вершин

; ; :

(1.2)

3.  Деление отрезка в данном соотношении , где числом называется отношением, в котором точка М делит отрезок , и определяется равенством:

Координаты точки М находятся по формулам:

; (1.3)

В случае, если точка М – середина отрезка , то , и тогда координаты середины отрезка находятся по формулам:

(1.4)

4.  Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки

:

если (1.5)

5.  Острый угол между прямыми, заданными уравнениями

вычисляется по формуле

(1.6)

Уравнение линии на плоскости

Основным и важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. В общем виде уравнение линии на плоскости – это соотношение вида:

(1.7)

Если в это соотношение переменные и входят в первой степени – то это уравнение линии первого порядка. Оно описывает прямую. Если же в соотношение (1.7) и или только одна из переменных входят во второй степени, то это уравнения линий второго порядка. Они описывают окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Существует несколько видов уравнений прямой на плоскости.

Различные виды уравнений прямой

1)  Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(1.8)

где k-угловой коэффициент прямой (,угол наклона прямой к оси Ox; b- ордината точки пересечения прямой с осью Оу

2)  Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом k=tgα

(1.9)

Отсюда

3)  Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

если и (см. рис. а)

если и (см. рис. б)

если и (см. рис. в)

а) б) в)

4)  Общее уравнение на плоскости:

где А, В, С – числа, причем

В частности,

ü  если то уравнение прямой принимает вид :

ü  если то уравнение прямой принимает вид:

ü  если то уравнение прямой принимает вид:

где

5)  Уравнение прямой в отрезках:

где , и соответственно, абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осью Ох и осью Оу

В общем случае, если заданы две прямые

,

или в общем виде

,

то они могут:

- совпадать

- быть параллельными

- быть взаимно перпендикулярными

- пересекаться под углом .

Две прямые совпадают, если выполняются условия:

или

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых:

или

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых:

или

Острый угол , под которым пересекаются две прямые:

или

Точка пересечения двух прямых находится как решение систем уравнений

или

Расстояние от точки до прямой :

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Дано общее уравнение прямой: . Найти угловой коэффициент прямой.

Решение.

Решим уравнение относительно у:

Отсюда делаем вывод, что - угловой коэффициент прямой.

Ответ: .

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью Ох угол 1350.

Решение.

Так как в данном случае , то подставив в уравнение прямой, проходящей через одну точку с известным угловым коэффициентом координаты точки А и значение , получим

Ответ.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и

параллельно прямой .

Решение.

а) Во-первых найдем точку пересечения прямых

и

Для этого решаем систему уравнений

Следовательно, искомая точка пересечения двух прямых имеет координаты (7;-6). Обозначим ее

б) Составим теперь уравнение прямой, проходящей через эту точку параллельно прямой .

У этой прямой угловой коэффициент т. к. .

Из условия параллельности прямых находим угловой коэффициент искомой прямой: .

Используя формулу для прямой, проходящей через одну точку с известным угловым коэффициентом координаты точки и значение , получим

Или в общем виде:

Ответ.

Пример 4. Даны вершины треугольника ; ; . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Решение.

Составим уравнение стороны , используя формулу прямой, проходящей через две заданные точки и :

Из уравнения видно, что угловой коэффициент этой прямой .

Тогда, угловой коэффициент прямой, на которой лежит высота, проведенная из вершины , равен (по признаку перпендикулярности ).

Поэтому уравнение высоты имеет вид:

Или в общем виде:

Ответ.