Математика (стр. 4 )

,

где

Обратная матрица системы имеет вид:

Проверим правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение, т. е. покажем, что , где Е- единичная матрица.

Вычислим

Найдем решение системы:

Ответ: или

3.  Пределы и их свойства

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что || < при n > N. В этом случае пишут .

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если для любого сколь угодно малого > 0 найдется такое > 0, что |f(x) – A| < при 0 < |x – a| < . В этом случае пишут: .

Свойства пределов:

1)  ;

2)  ;

3)  .

При С = const

4)  ;

5)  .

Используются также следующие пределы:

– первый замечательный предел;

– второй замечательный предел.

При вычислении пределов полезно иметь в виду следующие равенства:

, , .

Таблица простейших пределов ():

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  ;

8)  .

Вычисляя пределы, следует иметь в виду, что предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: . Нарушение ограничений, налагаемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида: Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1)  сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2)  деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (в отношении многочленов при );

3)  применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4)  использование двух замечательных пределов.

Решение типовых задач.

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления:

1)  [для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида используем метод замены бесконечно малых эквивалентными, так как при ~, ~, то] ;

2)  [подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида , так как под знаком предела стоит отношение многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на ] , поскольку при функции , являются бесконечно малыми;

3)  [подстановка приводит к неопределенности вида , выполним замену переменных: , ] . Здесь используем второй замечательный предел;

4)  [подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида , сократим числитель и знаменатель на множитель, создающий неопределенность, т. е. на ] .

4.  Элементы теории дифференциального исчисления

Определение. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Итак, по определению,

.

Геометрический смысл производной: для данной функции ее производная для каждого значения равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Физический смысл производной: для данной функции , меняющейся со временем х , ее производная есть скорость изменения функции y в данный момент времени х.