Математика (стр. 5 )

Правила дифференцирования:

1)  Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 , то их сумма дифференцируема в этой точке и

(производная суммы рана сумме производных).

2)  Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 , то их произведение дифференцируемо в этой точке и

3)  Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в этой точке и

.

4) В большинстве практических случаев процесс дифференцирования сводится к отысканию производной сложной функции

Если в цепи функциональных зависимостей аргумент является последним, то мы будем называть его независимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других переменных величин). Правило дифференцирования сложной функции вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной x, т. е..

.

Пример

Найти производную функции:

а)

Решение

Имеем сложную функцию вида

Используем правило дифференцирования такой функции: и таблицу производных основных функций

Получаем: .

б)

Имеем сложную функцию вида

Используем правило дифференцирования такой функции: и таблицу производных основных функций.

Получаем:

в)

г)

Дифференцирование функции двух переменных

Если функция зависит от нескольких аргументов, то она называется функцией многих переменных. Примерами таких функций могут служить функция полезности , где х - количество единиц первого блага, у - второго или производственная функция , где х - количество единиц первого ресурса, у - второго.

Определение. Величину z называют функцией двух переменных x и y, если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. При этом независимые переменные x и y, называют аргументами функции z. Обозначение: z=f(x,y)

Определение. Производная функции многих переменных по одной из переменных при условии, что остальные аргументы остаются постоянными называется частной производной и обозначается

С понятием частной производной тесно связано понятие частной эластичности функции нескольких переменных .

Значение показывает приближенно, на сколько процентов изменится переменная z при изменении на 1%.

Примеры:

1. Для заданной функции показать, что .

Решение

Вначале найдем частные производные

Подставим найденные частные производные в выражение для

что и требовалось доказать.

5.  Исследовать на экстремум функцию

Решение.

Проверим необходимые условия наличия у функции экстремума.

Область определения – все действительные значения x и y.

Найдем первые производные

Определим координаты критических точек, приравняв первые производные к нулю.

решая систему, получим

Т. е. в точке с координатами (1;-4) может быть экстремум. Проверим достаточные условия экстремума и определим вид экстремума

Найдем значение

Т. к. , то вопрос о наличии экстремума у функции

остается открытым.

6.  Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их экономическую интерпретацию.

Решение.

Эластичность спроса по цене P отрицательная (при увеличении цены спрос уменьшается)

Эластичность спроса по доходу I положительная (при увеличении дохода спрос увеличивается)

Экономическая интерпретация:

а). Значит, спрос эластичный относительно цены. Значение эластичности отрицательное (функция спроса по цене уменьшается). При увеличении цены на 1% величина спроса уменьшается на 3% (более чем на 1%).

б) Значит, спрос неэластичный относительно дохода. Значение эластичности положительное (функция спроса по доходу увеличивается). При увеличении дохода на 1% величина спроса увеличивается на 0.5% (менее чем на 1%)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Раздел I. Элементы аналитической геометрии

1.  При цене на товар 8 рублей величина спроса составляет 68 штук в день, при цене на тот же товар 12 рублей величина спроса составляет 52 штуки в день. Найти функцию ежедневного спроса, если известно, что она линейная и построить график этой функции.