Рабочая программа учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 )

Раздел 4. Корреляционный анализ

Тема 4.1. Зависимые и независимые случайные величины.

Двумерные случайные величины. Условные распределения. Понятие регрессии. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Ковариация и корреляция СВ.

Тема 4.2. Уравнение выборочной линейной регрессии.

Линейная парная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

4.4.  Содержание практических занятий

Практическое занятие №1. Случайные события и их вероятности. (2 ч)

Тема.

План

1)  Классическое определение вероятности.

2)  Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3)  Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

Задачи

1.  Из букв слова “уравнение” наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что: эта буква будет гласной; эта буква будет согласной; это будет буква щ”.

2.  Куб, все грани которого окрашены, распилили на шесть кубиков одинакового размера. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: одну окрашенную грань; две окрашенных грани; три окрашенных грани; ни одной окрашенной грани.

3.  Брошены две игральных кости. Найти вероятности следующих событий: сумма выпавших очков равна 6; сумма выпавших очков равна 8, а разность – 4; сумма выпавших очков равна 5, а произведение – 4.

4.  Найти вероятность того, что дни рождения 4 членов семьи придутся на один месяц; на разные месяцы.

5.  В урне 5 белых, 4 черных 6 красных шаров. Наудачу извлекается 5 шаров. Найти вероятность того, что в выбранной группе 2 белых, 2 черных и 1 красный шар.

6.  Среди 8 ламп 3 нестандартных. Найти вероятность того, что две подряд взятые лампы окажутся стандартными.

7.  Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,6, второго – 0,85. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий: оба попали в цель; в цель попал только первый стрелок; в цель попал только второй стрелок; в цель попал один стрелок; в цель попал хотя бы один стрелок; ни один стрелок не попал в цель.

8.  Вероятность того, что потребитель видит рекламу определенного продукта по каждому из 3 центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события – независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу: а) по всем 3 каналам; б) хотя бы по 1 из этих каналов?

9.  Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90%-й вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

10.  О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?

11.  Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?

12.  Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную», и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

Практическое занятие №2. (2 ч)

Тема: Случайные величины и их характеристики.

План

1)  Понятие случайной величины.

2)  Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения ДСВ.

3)  Числовые характеристики СВ.

4)  Типы распределения ДСВ: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение.

5)  Непрерывные случайные величины.

Задачи:

1.  Известно, что в определенном городе 20 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. А) Составить ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Б) Найти числовые характеристики этого распределения. В) Написать функцию распределения рассматриваемой случайной величины и построить её график. Г) Чему равна вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек: не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом; окажется хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом; будет не больше двух человек, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом?

2.  Два покупателя независимо друг от друга собираются сделать по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, вероятность того, что покупку сделает второй покупатель, равна 0,8. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения этой величины, найти её функцию распределения.

3.  Даны законы распределения случайных величин X и Y. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X+3Y.

X	2	4	6	8	Y	0	1	2
P	0,4	0,2	0,1	0,3	p	0,5	0,2	0,3

4.  Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,3. Построить ряд распределения для СВ – числа выстрелов по цели до первого попадания. Найти математическое ожидание и дисперсию этой СВ. Найти значение функции распределения при значении СВ, равном 10.

5.  Случайная величина Х задана функцией распределения:

.

6.  Найдите вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

7.  Случайная величина Х в интервале (0; 5) задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти дисперсию Х.

8.  Случайная величина X имеет плотность распределения вероятности . Найти: а) - математическое ожидание X; б) -дисперсию X; в) вероятность того, что X примет значение меньше 0,5; г) вероятность того, что X примет значение больше 1,5; д) вероятность того, что X примет значение на интервале (0,5; 1,5); е) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания не превысит 3.

9.  Коробки с мармеладом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 900 г. Известно, что 1 % коробок имеют массу больше 1 кг. Каков процент коробок, масса которых не превышает 850 г, если вес коробок есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

10.  Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дней, однако, для выполнения 20 % заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.

11.  В некоторой совокупности мужчин средний рост 175 см со стандартном отклонением 10 см. Какая доля мужчин этой совокупности носит одежду II роста (167–173), III роста (173–179), IV роста (179–185)? Можно ли пренебречь малорослыми, высокорослыми?

12.  Случайная величина имеет равномерный закон распределении на отрезке [0; 2]. Написать выражение для плотности вероятности и для функции распределения и построить их графики. Найти вероятность события: .

13.  Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу каждые 2 часа. Считая, что время прибытия автомобилей к парому есть СВ, распределенная равномерно, определить среднее время ожидания парома, дисперсию этой величины. Найти вероятность того, что автомобилю придется ждать паром не более 30 мин.

14.  На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти для случайной величины T – времени ожидания машины контролером, если поток машин простейший, и время (в часах) между прохождениями машин через контроль распределено по показательному закону: .