Программа и материалы элективного курса для учащихся 10-11 классов «Преобразования плоскости и их применение к решению задач элементарной геометрии» (стр. 2 )

1). для любыхииз совокупностиих произведение принадлежит;

2). для любогоиз обратное преобразованиепринадлежит.

Примеры отображений приведены на рисунках 1-6.

Движения плоскости и их свойства

Определение 10. Движением плоскости называется такое преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Если движение обозначить, то определение (10) в формальной записи имеет вид:

, где .

Движению плоскости можно дать и другое определение, которое эквивалентно определению 10.

Определение 11. Пусть на плоскости даны две прямоугольные декартовы системы координат и с одним и тем же масштабом. Движением плоскости называется преобразование плоскости, которое каждой точке плоскости с координатами и относительно первой системы ставит в соответствие точку с такими же координатами и относительно второй системы .

Если системы координат одной ориентации, то движение называется движением I рода (рис. 7), в противном случае движение называется движением II рода. (рис. 8).

рис. 7 рис. 8

Можно показать, что координаты образавыражаются через координаты , прообраза относительно системы координат следующими формулами

, (1)

где - величина угла между векторами и, т. е. , а - координаты точки относительно системы координат .

Формулы (1), взятые с верхними знаками определяют движение I рода, взятые с нижними – движение II рода. Эти формулы называются формулами движений плоскости.

Частными видами движений являются осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос, вращение (поворот), скользящая симметрия и тождественное преобразование плоскости.

Определение 12. Симметрией относительно прямой (оси симметрии) называется движение плоскости, которое:

1). каждую точку прямой преобразует в себя;

2). каждую точку преобразует в точкутакую, что и середина отрезка лежит на . Обозначается осевая симметрия (рис. 9)

рис. 9 рис.10

Если осью симметрии служит ось абсцисс прямоугольной декартовой системы координат , то формулы осевой симметрии имеют вид (рис. 10):

(2)

Если за ось симметрии выбрана ось ординат, то формулы имеют вид:

(3)

где - образ точки .

Определение 13. Симметрией относительно точки (центр симметрии) называется движение плоскости, которое всякую точку преобразует в такую точку , что точка является срединой отрезка , а точку преобразует в себя. Обозначается (рис. 11.). Если за начало прямоугольной декартовой системы взять центр симметрии , то формулы имеют вид:

(4)

где - образ точки .

рис. 11.

Определение 14. Параллельным переносом на вектор называется движение плоскости, которое всякую точку преобразует в точку , характеризующуюся равенством (рис. 12).