Программа и материалы элективного курса для учащихся 10-11 классов «Преобразования плоскости и их применение к решению задач элементарной геометрии» (стр. 3 )

Обозначение: .

Формулы параллельного переноса плоскости относительно системы , имеют вид:

(5)

где - вектор параллельного переноса, - образ точки .

рис. 12

Определение 15. Вращением (или поворотом) вокруг точки на угол называется такое преобразование плоскости, при котором: 1) ; 2) произвольная точка переходит в точку такую, что:

а) ; б) (рис. 13).

Здесь и далее означает величину заданного ориентированного угла .

Обозначение: . Если система выбрана так, что является точкой, вокруг которой совершается поворот плоскости (рис. 14), то формулы поворота плоскости имеют вид:

(6)

рис. 13 рис. 14

Заметим, что центральная симметрияесть поворотна .

Определение 16. Скользящей симметрией называется произведение осевой симметрии с осью и параллельного переноса на вектор , который параллелен оси : т. е. если то - скользящая симметрия.

Теорема. Всякое движение I рода есть либо тождественное преобразование, либо параллельный перенос, либо поворот плоскости. Всякое движение II рода есть либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Определение 17. Точка называется инвариантной (или неподвижной) точкой преобразования , если при преобразовании она отображается на себя.

Прямая называется инвариантной прямой преобразования , если она отображается на себя.

Если при этом каждая точка прямой остается неподвижной, то прямая называется осью преобразования.

Можно доказать, что множество всех движений плоскости образует группу, подгруппой которой является множество всех движений I рода. Движения II рода группу не образуют.

Движения обладают следующими свойствами:

движение отображает отрезок на отрезок;

движение отображает точки, лежащие на одной прямой, в точки, также лежащие на одной прямой;

движение отображает прямую на прямую, полуплоскость на полуплоскость;

движение сохраняет параллельность прямых;

движение отображает луч на луч;

движение сохраняет величину угла;

движение отображает многоугольник на многоугольник со сторонами и углами соответственно той же величины, что и у данного многоугольника;

движение отображает окружность на окружность того же радиуса;

Справедлива также следующая теорема: если и - два треугольника и если , , , то существует единственное движение плоскости, отображающее точки соответственно на точки .

Определение 18. Фигура Ф называется равной фигуре Ф’ (Ф=Ф’), если существует движение, при котором фигура Ф преобразуется в фигуру Ф’.

Подобия, свойства подобий

Определение 19. Преобразование плоскости называется подобием, если для любых двух точек и плоскости и их образов и имеет место соотношение:

где - положительное число, называется коэффициентом подобия.

Определение 19 эквивалентно также следующему определению.

Определение 20. Пусть на плоскости даны две прямоугольные декартовы системы координат и , причем . Подобием плоскости называется преобразование плоскости, которое каждой точке плоскости с координатами и относительно первой системы ставит в соответствие точку с такими же координатами и относительно второй системы .

Если системы координат одной ориентации, то подобие называется подобием I рода, в противном случае подобие называется подобием II рода.

Можно показать, что формулы подобия имеют вид:

, (7)

при этом верхние знаки соответствуют подобиям I рода, в противном случае подобие называется подобием II рода.

Определение 21. Фигура Ф называется подобной фигуре Ф’ (Ф~Ф’), если существует преобразование подобия, при котором фигура Ф преобразуется в фигуру Ф’. Свойства движений выполняются и для подобий. Кроме того, для подобий выполняется свойство при подобии многоугольник отображается в одноименный ему многоугольник, углы которого равны, стороны пропорциональны соответственным сторонам данного многоугольника.