Программа и материалы элективного курса для учащихся 10-11 классов «Преобразования плоскости и их применение к решению задач элементарной геометрии»

Пояснительная записка

Актуальность темы «Преобразования плоскости» очевидна, так как одной из важнейших идей, лежащих в основе построения курса геометрии, является идея геометрических преобразований, которую обосновал выдающийся немецкий математик Ф. Клейн (1872 г.). Групповая точка зрения на геометрию оказала положительное влияние на развитие геометрии, как науки, и ее приложения. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике, химии, биологии, технике. Это сближает математику с данными областями наук. Методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление, нахождение геометрических мест точек.

Цель данного курса: углубление и расширение знаний учащихся о преобразованиях плоскости, усвоение ими конкретных знаний по истории математики и основаниям геометрии;

По прохождению данного курса учащиеся должны:

1.  знать понятие отображения, его основные виды;

2.  знать понятие преобразования;

3.  знать определение движения и его основное свойство;

4.  знать определение композиции преобразований, уметь читать и выполнять композицию;

5.  иметь представление об аналитических уравнениях движения;

6.  знать классификацию движений по роду;

7.  знать определение видов движений;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

8.  знать определение гомотетии и подобия и их свойства;

9.  иметь представление об аналитических уравнениях преобразований подобия и гомотетии.

10. уметь применять метод геометрических преобразований к решению задач элементарной геометрии.

Тематическое планирование

№

п/п

Темы занятий

Количество часов

1.

Понятие отображения, основные виды. Понятие преобразования. Свойства преобразований плоскости. Группа преобразований.

2

2.

Движения плоскости. Понятие движения и его свойства. Аналитические представления движения.

2

3

Классификация движений плоскости. Поворот, параллельный перенос, симметрия, скользящая симметрия. Группа движений плоскости.

4

4

Преобразование подобия и его свойства. Гомотетия.

2

5

Группа подобий. Аналитические представления преобразования подобия.

4

6

Решение задач элементарной геометрии на построение, доказательство и вычисление методом геометрических преобразований.

6

Итого

20

Текст пособия

Понятие преобразования плоскости. Группа преобразований плоскости

Определение 1. Если каждому элементу множества поставить в соответствие один определенный элемент множество , то говорят, что задано отображение множества в множестве .

Элемент называется образом элемента, который в свою очередь называется прообразом элемента . Если отображение обозначить буквой ƒ, то пишут так:

ƒ, или ƒ:, или , а также ƒ:.

Совокупность образов всех элементов множества называется образом множества и обозначается. Очевидно, .

Определение 2. Отображение ƒ: называется отображением на множество , если образ множества есть множество , т. е..

Определение 3. Отображение ƒ: называется взаимно однозначным, если разные элементы множества имеют разные образы, т. е

Определение 4. Взаимно однозначное отображение множества на себя называется преобразованием множества .

Если множество - плоскость, то имеем преобразование плоскости .

Определение 5. Взаимно однозначное отображение плоскости на себя называется преобразованием плоскости.

Определение 6. Пусть и - два каких-либо преобразования множества плоскости . Преобразование называется произведением (композицией) и (обозначение: - первый сомножитель справа!), если оно заключается в последовательном выполнении преобразования , а затем преобразования , т. е. или . Произведение преобразований ассоциативно, т. е. .

Определение 7. Преобразование плоскости такое, что называется тождественным. Тождественное преобразование удовлетворяет соотношению: .

Определение 8. Пусть на плоскостизадано преобразование. Преобразование плоскостиназывается обратным для , если , тогда и только тогда, когда .

Заметим, что .

Определение 9. Совокупностьпреобразований плоскости называется группой преобразований, если:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5