39. На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на ней. Найти геометрическое место центров правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая - на данной прямой.
40. На плоскости даны прямая и точка, не принадлежащая ей. Найти геометрическое место третьих вершин правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая - на данной прямой.
Поворот
41. Построить квадрат ABCD по его центру О и точкам М и N, которые принадлежат соответственно прямым АВ и ВС (ОМ не равно ON).
42. Построить такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина совпала с данной точкой О, а две другие принадлежали двум данным окружностям.
43. Через данную внутри окружности точку провести хорду данной длины.
44. На сторонах ВС, СА и АВ равностороннего треугольника ABC даны соответственно точки М, N и Р. Известно, что ВМ : МС = CN : NA = АР : РВ = k.
а) Доказать, что MNP — равносторонний треугольник,
б) Вычислить MN,если ВС = a, k = 2.
45. Ha сторонах АВ и ВС треугольника ABC как на основаниях построены одинаково ориентированные квадраты ABMN и ВСОР. Обозначим их центры через О1 и О2, середину стороны АС - через К, середину отрезка МР - через L. Доказать, что четырехугольник O1LO2K — квадрат.
46. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники АСВ1 и ВСА1. Найти углы треугольника МА1О, где М - середина стороны АВ, точка О — центр треугольника АСВ1.
47. На продолжении сторон прямоугольного треугольника ABC отложены отрезки АР и АЕ, равные соответственно катетам АВ и АС треугольника ABC. Доказать, что прямая, содержащая медиану AM треугольника ABC, перпендикулярна отрезку DE.
48. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, равны.
49. Через центр О правильного треугольника ABC проведены две прямые, образующие между собой угол в 60°. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны.
50. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была точка Р, другая принадлежала прямой а, третья — прямой b.
51. На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его построены квадраты ABNM и ACQP. Доказать, что МС ^ BP.
52. Даны два одинаково ориентированных квадрата MP0R и MUVW. Доказать, что отрезки PU и RW равны и перпендикулярны.
53. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построены квадраты с центрами D и Е, причем точки С и D расположены по одну сторону от АВ, а точки А и Е - по разные стороны от ВС. Доказать, что угол между прямыми АС и DE равен 45°.
54. Построить квадрат ABCD по его центру О и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD (ОМ не равен ON).
Параллельный перенос
55. Даны четыре различные точки А, В, С и D. Провести через них соответственно четыре параллельные прямые а, b, с и d так, чтобы ширина полосы между прямыми а и b была равна ширине полосы между прямыми c и d.
56. Построить трапецию по ее диагоналям, углу между ними и одной из сторон.
57. Доказать что если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, образует равные углы с прямыми, содержащими ее боковые стороны, то трапеция равнобочная.
58. Две равные окружности касаются внешним образом в точке К. Секущая, параллельная линии центров, пересекает окружности последовательно в точках А, В, С и D. Доказать, что величина угла АКС не зависит от выбора секущей.
59. Определить площадь трапеции, все стороны которой известны.
60. На окружности с центром О даны такие три точки А, В и С, что ÐАОВ=ÐВОС=60°. Доказать, что расстояние от точки В до произвольного диаметра окружности равно или сумме, или абсолютному значению разности расстояний от точек А и С до этого диаметра.
61. Через точку М, лежащую вне окружности w, провести прямую т, пересекающую w в двух точках А и В, так, чтобы АВ = ВМ.
62. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что длина отрезка, концами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности длин оснований.
63. 
Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а длины диагоналей равны 13 и 20 см. Вычислить площадь трапеции.
64. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равных радиусов равно d. Прямая, параллельная линии центров, пересекает первую окружность в точках А и В, вторую - в точках С и D. Найти длину отрезка АС (смотри рисунок).
65. Построить четырехугольник ABCD, зная длину его сторон и длину отрезка MN, соединяющего середины сторон АВ и DC.
66. Диагонали трапеции с основаниями а и b взаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?
Гомотетия
67. Доказать, что в произвольном треугольнике ABC точка М пересечения медиан, точка Н пересечения высот и центр О описанной окружности принадлежат одной прямой (прямая Эйлера).
68. Дан угол ABC и внутри него точка М. Провести через точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри угла ABC, делился точкой М в отношении 1 : 2.
69. Доказать, что если через точку касания двух окружностей провести произвольную прямую, то она пересечет окружности вторично в таких точках, что радиусы, проведенные в эти точки, параллельны.
70. Даны три параллельных, попарно не равных отрезка MN, PQ и RS, причем лучи MN, PQ и RS сонаправлены. Доказать, что три точки пересечения пар прямых МР и NQ, MR и NS, PR и QS принадлежат одной прямой; точки пересечения пар прямых MQ и NP, QR и PS, MR и NS также принадлежат одной прямой (смотри рисунок).
71. Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Секущая а пересекает окружности в расположенных последовательно точках М, N, P, Q (смотри рисунок). Доказать, что ÐMAN = ÐPAQ.
72.
 |
Длины отрезков, одним концом которых является общая точка, а другим - точка прямой, разделены в одном и том же отношении. Доказать, что точки деления принадлежат одной прямой.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
