Введение (стр. 2 )

В задачах 5-9 использованы распределения, приведенные в пособии [1]. Кроме того, использовано распределения Рэлея, индикатор события и геометрическое распределение. Приведем указанные распределения:

Распределение Рэлея:

. Геометрический смысл распределения Рэлея можно описать так. Пусть имеется равномерное плоское пуассоновское поле точек с плотностью r точек на единицу поверхности. Тогда расстояние от какой-либо точки (не обязательно совпадающей с любой из точек поля) до ближайшей точки поля есть НСВ, подчиняющаяся закону Рэлея с параметром . При этом количество точек, находящихся на заданном участке площадью S есть ДСВ, подчиняющаяся закону Пуассона с параметром l=rS. Отметим также, что если в выбранную точку поместить начало прямоугольной системы координат (X, Y), то координаты (x, y) ближайшей точки в этой системе подчинены нормальному закону с параметрами EX=EY=0, sx=sy=b. И обратно: Если X, Y – одинаково нормально распределенные независимые центрированные СВ со среднеквадратичным отклонением s, то величина распределена по закону Релея с параметром b=s. Если в том же случае нормальные распределения имеют неодинаковые СКО , то величина имеет распределение Рэлея с параметром . Из изложенного следует следующее утверждение. Пусть НСВ подчинена двумерному нормальному закону, а оси X, Y – есть главные оси распределения. Пусть начало координат находится в центре рассеивания. Пусть имеется эллипс (круг), оси которого совпадают с главными осями распределения, а длины полуосей эллипса находятся в одинаковой пропорции со среднеквадратичными отклонениями sx и sy. Тогда вероятность попадания в эллипс (круг) можно подсчитать по формуле где x=a1/sx=b1/sy, a1,b1 – длины полуосей эллипса (круга, если a1=b1). В заключение напомним, что в одномерном пуассоновском поле расстояние до ближайшей точки есть НСВ, подчиняющаяся показательному закону, а не закону Рэлея.

Геометрическое распределение описывает ДСВ – количество проведенных независимых испытаний до появления первого успеха, если вероятность успеха в каждом испытании равна p.

Ряд распределения(q=1-p):

X	1	2	3	…	m	…
P	P			…		…

Числовые характеристики геометрического распределения такие:

Иногда рассматривают смещенное на единицу геометрическое распределение Y. Это ДСВ, равная числу «неудачных» испытаний до первого успеха. Очевидно, что Y=X-1 , и ряд распределения будет таким:

Y	0	1	2	…	m	…
P	P			…		…

Такое распределение еще называют распределением Паскаля.

Индикатор I(A) события A– дискретная случайная величина, которая может принимать только два значения: значение ноль, если событие A не происходит, и значение единица, если событие A происходит. Пусть p – вероятность события A. Тогда ряд распределения будет таким:

I(A) 0 1

Pi 1-p p

Очевидно, что EI(A)=p DI(A)=p(1-p).

Задача 5. Спортсмен делает шесть бросков мяча в корзину. Вероятность попадания при каждом броске равна р=0.6. Для ДСВ – числа удачных бросков построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что мяч побывает в корзине по крайней мере три раза. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

Решение. Так как по условию задачи происходит заданное (шесть) количество "однотипных испытаний", а вероятность "успеха" (попадание мяча в корзину) в каждом испытании постоянна, то "количество успехов" X (число удачных бросков) есть ДСВ, подчиненная биномиальному распределению с параметрами n=6, p=0.8.

Ряд распределения ДСВ X представим в виде таблицы:

X	0	1	2	3	4	5	6

Вероятности вычислим по известной формуле: , где q=1-p.

. Математическое ожидание EX и дисперсию DX можно не искать по общим формулам, а в данном случае найти их по формулам для биномиального распределения: EX=np=3.6, DX=npq=1.44. Вероятность того, что хотя бы три броска окажутся удачными есть = 0.8208. Построим график функции распределения и покажем вертикальной "стрелкой-размером" найденную вероятность :

Задача 6. Случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения:

Найти коэффициент а, плотность распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<1). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Решение. Величину a в данной задаче удобно находить из условия . Так как в данной задаче значение функции распределения "на бесконечности" равно значению ее в точке x=2 (в силу непрерывности F(x): разрыв функции распределения означает, что мы имеем дело с величиной смешанного типа, а это противоречит нашей "договоренности" иметь дело только с непрерывно или дискретно распределенными величинами), то можно записать при x=2, откуда следует, что a=1. Плотность распределения найдем как производную от функции распределения:

Найдем теперь .