Введение (стр. 3 )

Построим графики функции F(x) и плотности p(x) распределения и покажем найденную вероятность на этих графиках. На графике плотности распределения - это площадь криволинейной трапеции (показана серым цветом), а на графике функции распределения найденная вероятность отмечена на шкале ординат:

Задача 7. Непрерывная случайная величина распределена в интервале (1; 5) по закону ; Найти a, p(y), математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Для нахождения величины a используем известное свойство плотности непрерывного распределения: . Имеем: , откуда следует, что a=5/4. График функции показан на рисунке:

Область значений НСВ Y – промежуток [0,3], причем на промежуток [0,1] приходятся две ветки графика функции, а на промежуток [1,3] – одна ветка. Обратные функции запишутся следующим образом:

Отметим, что в данном примере . Применяя формулу Смирнова получим:

Для контроля правильности нахождения p(y) проверим тождество . Действительно,

.

Найдем EY и DY:

Задача 8. Матрица распределения системы двух ДСВ задана таблицей. Найти EX, EY, DX, DY, Kxy,. Построить условный ряд распределения Y(X=16) для указанной ДСВ.

X\Y	1	4	14
12	0.01	0,11	0,06
16	0,16	0,24	0,27
35	0,07	0,03	0,05

Решение. Находим сначала ряды распределения для X и Y:

Y	1	4	14
Pi	0.24	0,38	0,38

(суммирование в столбцах) и далее, суммируя в строках:

X	12	16	35
Pi	0.18	0,67	0,15

Далее находим

Условный ряд распределения при X=16 построим следующим образом. Просуммируем вероятности в строке X=16 матрицы распределения и каждую из вероятностей этой строки разделим на полученную сумму. Это и будут вероятности условного ряда распределения:

Y(X=16)	1	4	14
Pj	0.2388	0,3582	0,4030

Задача 9. ПР для СHСВ выражается формулой.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x, y). Найти P(10<x<11 10<y<11).

Решение. Так как плотность p(x, y) определена на прямоугольной области и может быть разложена на множители , то НСВ X и Y являются независимыми. Следовательно, Значение найдем из условия , которое для данной НСВ перепишется как .

Вычислим этот несобственный интеграл: , откуда следует, что В силу симметрии , Следовательно Найдем теперь функции распределения F(x),F(y) для X и Y: Следовательно,

, в силу симметрии и .

В силу независимости X и Y:

.

Найдем В силу симметрии и

, следовательно .

Задача 10. Случайная величина X имеет нормальное распределение N(2,3). Найти границы (a, b) равномерного распределения СВ Y, у которой математическое ожидание и вероятность попадания в интервал (2, 5) были бы такими же как у СВ X.

Решение. Так как по условию задачи требуется сохранить математическое ожидание E=2, то равномерное распределение следует строить на участке (2-а, 2+а), то есть a=2-а, b=2+а.

Найдем вероятность попадания в интервал (2, 5): P(2<X<5)= Так как длина области изменения НСВ Y равно 2a, а для этого равномерного распределения P(2<Y<5)=, то приравнивая полученное выражение вычисленному значению получим: . Следовательно, a=2-4,395=-2,395, b=2+4,395=6,395.

2. Варианты контрольных работ.

Задачи номер 4 и номер 8 имеют одинаковый текст для всех вариантов, поэтому здесь приведем этот текст:

Задача 4. Дана структура экзаменационных тестов с прилагаемой вероятностью правильных ответов на задаваемые вопросы. Найти вероятность успешного прохождения абитуриентом всего теста. Последовательная «цепочка» прямоугольников означает, что прохождение этой части теста есть правильный ответ на каждый «вопрос-прямоугольник». Параллельная «цепочка» прямоугольников означает, что прохождение этой части теста есть правильный ответ хотя бы на один из «вопросов-прямоугольников».

Задача 8. Матрица распределения системы двух ДСВ задана таблицей. Найти EX, EY, DX, DY, Kxy, r. Построить условный ряд распределения для указанной ДСВ.

Рисунки и таблицы для задач номер 4 и номер 8 для всех вариантов приводятся в конце пособия.

ВАРИАНТ №1.

1. В партии 12 деталей, 5 из них бракованные. Какова вероятность того, что 2 наугад выбранные детали окажутся бракованными?

2. В лифт семиэтажного дома вошли 3 человека. Каждый из них, начиная со второго этажа, может выйти на любом этаже с равной вероятностью. Найти вероятность того, что все выйдут на разных этажах.

3. В отделе 5 «отличных», 7 «хороших», 4 «удовлетворительных» и 4 «слабых» сотрудников. Вероятности того, что сотрудники выполнят некое поручение, для каждой категории соответственно равны 0.9 0.7 0.6 и 0.5. Наудачу вызванный сотрудник из трех однотипных поручений выполнил два поручения и не выполнил одно. Какова вероятность того, что этот сотрудник «хороший»?

5. Вероятность встретить автомобиль с рулевым управлением (РУ) на правой стороне равна 0.001. Какова вероятность того, что среди 2000 автомобилей окажется 3 автомобиля с РУ на правой стороне? Какова вероятность того, что их окажется не более трех? Для ДСВ – количества автомобилей с РУ на правой стороне построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. . Показать найденные вероятности на графике функции распределения. Задачу решить приближенно, пользуясь законом редких явлений (Распределение Пуассона).