Основы технологии машиностроения (стр. 2 )

(5)

где - значение в середине го интервала;

- число значений, заключенных в ом интервале;

- число всех измерений (объём выборок);

- число интервалов.

Выборочное среднее квадратичное отклонение определяют из выражения

(6)

или удобнее вычислить по формуле

(7)

Исключение грубых погрешностей

Самым простым методом исключения грубых погрешностей является сравнение максимальных и минимальных измеренных размеров и с граничными значениями поля рассеивания. Граничные значения в первом приближении можно взять равными и тогда, если

(8)

то и исключаются из дальнейших рассмотрений и все статистические характеристики вновь пересчитываются.

Графическое представление результатов измерений

При анализе технологического процесса по выборке наглядное представление о точности можно получить по графикам распределения частот. Для построения этих графиков составляют таблицу сгруппированных данных. В этой таблице все измеренные значения разбиваются на интервалы с определёнием в этом интервале среднего . Подсчитывается число измерений, заключённых в каждом интервале , называемое частотой. Затем определяется частотность - отношение числа деталей, размеры которых попали в заданный интервал, к объёму всей выборки. Подсчитывается накопление частоты методом последовательного суммирования частот и записывается нарастающим итогом.

При построении графиков по оси абсцисс откладываются интервалы размеров, а по оси ординат - частота . Если на каждой ширине интервала, как на основании, построить прямоугольник, у которого высота равна частоте (или частости), соответствующей данному интервалу, то совокупность таких прямоугольников составит гистограмму распределения.

Другой график получается, если в серединах интервалов на оси абсцисс восстановить перпендикуляры, высота которых равна соответствующей частоте или частости, и соединить между собой их вершины. В результате получится эмпирическая кривая распределения, или полигон распределения.

Оценка соответствия эмпирического распределения теоретическому

Для анализа точности технологического процесса важно знать, какому теоретическому закону подчиняется распределение опытных данных в выборке. В технологии машиностроения часто используются следующие законы распределения: нормального распределения (закон Гаусса), равной вероятности, треугольника (закон Симпсона), модуля разности, эксцентриситета.

Многочисленными исследованиями, проведенными в различных областях механической обработки, установлено, что распределение действительных размеров деталей с допусками по 9 квалитету и выше, обработанных на настроенных станках, подчиняется чаще всего закону нормального распределения. Основное условие формирования нормального распределения состоит в том, чтобы среди случайных погрешностей отсутствовали доминирующие. Теоретически функция нормального распределения в интегральной форме выражается так:

(9)

а в нормированном виде

(10)

где новая переменная, полученная путём замены на .

Введя другие пределы интегрирования, получим

Интеграл носит название нормированной функции Лапласа и его значения для различных приведены в приложении 1. Интеграл ., поэтому функцию можно представить в виде

(11)

Используя функцию , мы можем определить вероятность нахождения случайной величины в указанном интервале или вероятное количество годных деталей, не выходящих за пределы допускаемых размеров. Вероятность появления случайной величины вне указанного интервала (брак) определяется как

Дифференциальная функция нормального распределения (или плотность вероятности) имеет следующее выражение:

(12)

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде кривой холмообразного типа (рис.1).

При построении теоретической кривой распределения по экспериментальным данным (это необходимо, когда сравниваются практические кривые распределения с теоретической) можно использовать свойство симметричности кривой и то, что максимальная ордината получается при . Тогда ордината вершины кривой будет

(13)

где - объём выборки;

- величина интервала сгруппированных данных.

Рис.1. Кривая нормального распределения

Точки перегиба лежат на расстоянии, равном среднеквадратичному отклонению от её оси симметрии. Их ординаты определяются по формуле

(14)

При можно принять, что .

Определение близости опытного (эмпирического) распределения к теоретическому распределению может быть осуществлено по графикам (гистограмме, полигону распределения). Но такое визуальное определение носит субъективный характер, и разные исследователи могут оценить расхождение между опытным и теоретическим распределением по-разному.

Для количественной оценки близости теоретического и эмпирического распределений применяется так называемый критерий согласия. В данной работе производится проверка на нормальность распределения опытных данных по критерию согласия Колмогорова . Сущность этого метода заключается в определении критерия согласия по формуле:

(15)

где - накопленная эмпирическая частота;

- накопленная теоретическая частота.

Далее, зная величину , по приложению 2 определяют значение вероятности . Если в результате расчёта окажется, что значение вероятности (- это уровень значимости), то опытное распределение подчиняется закону нормального распределения. Если , то гипотеза нормальности отвергается.