Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы (стр. 11 )

1. Всякая пропозициональная буква есть модальная формула.

2. Если Р, Р1 , Р2 … суть формулы, то и их комбинации с логическими союзами также являются формулами.

3. Если Р есть формула, то и □Р также формула.

Истинными формулами модальной логики являются:

·  □Р=┐◊┐Р (необходимо, что Р равно невозможно, что не-Р)

·  ◊Р = ┐□┐Р (возможно, что Р равно отрицанию Р не необходимо)

·  Р→◊Р (если Р, то возможно, что Р)

·  □Р→Р (если необходимо, что Р, то Р).

А такие формулы в исчислении высказываний модальной логики не выводятся:

·  Р→□Р (если Р, то необходимо, что Р)

·  ◊Р→Р (если возможно, что Р, то Р)

·  ◊Р (возможно, что Р)

·  ┐□Р (не необходимо, что Р)

Модальные кванторы всегда двойственны, т. е. модальный квантор имеет всегда двойственный ему.

43.  Общезначимость формул модальной логики в модели, общезначимость – в структуре, общезначимость.

Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые невозможно или сложно выразить в не модальном языке.

Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется и двойственный к нему : . Модальности: Алетические модальные понятия:

1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.

2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.

Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она тождественна истинна на всякой области (на любой модели).

Если две равносильные формулы логики предикатов соединить знаком эквиваленции , то полученная формула будет принимать значение. И для любого набора переменных в любой области, т. е. будет общезначимой. Формулу А называют истинной в модели <G, K> этой формулы А в области D, если G сопоставляет А значение Т. А называют общезначимой в области D, если А истинна в каждой модели А в D. А называют выполнимой в D, если существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой области.

Формула F называется выполнимой в модели (M, R,V, W), если эта модель допустима для F и существует такое, что .Формула называется выполнимой, если существует модель, в которой она выполнима. Формула F выполнима тогда и только тогда, когда формула невыполнима.

Стандартное понятие общезначимой формулы распространяется на построенную трехзначную семантику естественным образом: вместо истинно надо сказать определенно истинно. Точнее, формула А языка Lн является н-общезначимой, если А определенно истинна в любой структуре для языка Lн. Для обычной общезначимости пишем ú= А, а для н-общезначимости будем использовать запись нú= А.

44.  Схема аксиом дистрибутивности. Модальное правило вывода. Модальная система.

Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые невозможно или сложно выразить в не модальном языке.

Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется и двойственный к нему : . Модальности: Алетические модальные понятия:

1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.

2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.

В формальной системе некоторые формулы выделяют как аксиомы, а некоторые знакосочетания вида как основные правила вывода. При этом выводимость формулы в соотетствующей формальной системе индуктивно определяется следующим образом

1. Всякая аксиома есть выводимая формула.

2.Если все посылки правила вывода выводимы, то и заключение В также выводимо.

Аксиома исчисления высказываний: Всякая тавтология есть аксиома.

Схемы аксиом дистрибутивности

Правила modus pones

Модального правила вывода необходимости

45.  Схема аксиом знания. Модальная система. Общезначимость в структурах.

Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые невозможно или сложно выразить в не модальном языке.

Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется и двойственный к нему : . Модальности: Алетические модальные понятия:

1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.

2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.

Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она тождественна истинна на всякой области (на любой модели). Формулу А называют истинной в модели <G, K> этой формулы А в области D, если G сопоставляет А значение Т. А называют общезначимой в области D, если А истинна в каждой модели А в D. А называют выполнимой в D, если существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой области.

В основе нормальной модальной системы лежит:

Множества всех теорем логики высказываний, область действия которых распространена на формулы модального языка высказываний L

Схемы аксиом дистрибутивности

Правила modus pones

Модального правила вывода необходимости

Обогащатьнормальную модальную систему можно за счет аксиом

Выбор модальной системы зависит от модельируемого понятия. Система. обладающая всеми указанными аксиомами называется s5(KT 45) Немонотонная S5-система содержит схему аксиомы знания, т. е.

схема утверждает: «все, что предполагается, истинно».

46.  Схема позитивной интроспекции. Модальная система. Общезначимость в структурах.