Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы (стр. 15 )

Понятие функции.

Понятие образа функции δ при аргументе χ.

Понятие бесконечности.

Тогда аксиоматика Цермело-Френкеля может быть записана следующим образом:

Аксиома объёмности.

Аксиома пары.

Аксиома суммы.

Аксиома степени.

Аксиома выделения.

Аксиома бесконечности.

Аксиома выбора.

Аксиома фундирования.

Аксиома подстановки Френкеля.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

59.  Конструктивизм, аксиоматика интуиционистских формальных теорий.

Форма́льная (аксиоматическая) тео́рия, формальное исчисление — это понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории доказательства. Формальная теория — разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода.

Формальная теория — это:

·  множество символов, образующих алфавит;

·  множество слов в алфавите , которые называются формулами;

·  подмножество формул , которые называются аксиомами;

·  множество отношений на множестве формул, , которые называются правилами вывода.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Конструктивизм исходит из того, что обучение – это активный процесс, в ходе которого люди активно конструируют знания на основе собственного опыта. Следовательно, интуиционную теорию постоянно необходимо развивать (обучать, пополнять).

Аксиоматика – набор относительных истин в какой-либо науке, принимаемых на веру, но имеющих рациональное истолкование.
Нечёткое множество, алгебра нечётких множеств.

Нечеткое множество A={(x, µA(x))} определяется как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсума X соответствующих степеней принадлежности µA(x). Поскольку функция принадлежности полностью описывает нечеткое множество, то нечеткое множество может задаваться непосредственно в виде функции принадлежности µA: X→[0,1]. Таким образом, нечеткое множество вводится путем расширения двухэлементного множества принадлежностей {0,1} до отрезка [0,1]. Значения функции принадлежности не стоит отождествлять с вероятностью принадлежности элемента x нечеткому множеству A, поскольку степень принадлежности не имеет, как правило, статистической природы.

Ядром Core(A) нечеткого множества A называется множество точек таких, что Core(A)={xX | µA(x)=1}. Точки xX, в которых µA(x)=0.5 именуются точками перехода.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому, определяется как:

Пусть A и B – два нечетких множества на универсуме X.

Включение нечеткого множества А в нечеткое множество В определяется условием:

Равенство нечеткого множества А нечеткому множеству В определяется условием:

Дополнение нечеткого множества A определяется условием:

В теории нечетких множеств для обозначения операции взятия минимума используется символ , а для обозначения операции взятия максимума – символ .

Пересечение нечетких множеств A и B определяется как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

Объединение нечетких множеств A и B определяется как наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

Можно выделить следующие типы нечетких отношений:

Рефлексивность:

Слабая рефлексивность:

Сильная рефлексивность:

Антирефлексивность:

Симметричность:

Антисимметричность:

Асимметричность:

Транзитивность:

60.  Ядро и носитель нечёткого множества. Нормальное нечёткое множество, выпуклое нечёткое множество.

Под нечётким множеством A понимается совокупность , где X — универсальное множество, а — функция принадлежности, характеризующая степень принадлежности элемента x нечёткому множеству A.

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве M. Множество M называют множеством принадлежностей, часто в качестве M выбирается интервал [0,1]. Если M={0,1}, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Ядро нечеткого множества определяется как такой набор объектов, для каждого из которых степень принадлежности к данному нечеткому множеству превышает некоторое пороговое значение (например, 0,9)

Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество . Величина называется высотой нечёткого множества A. Нечёткое множество A нормально, если его высота равна 1. Если высота строго меньше 1, нечёткое множество называется субнормальным.

Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие для любых и .

61.  Меры нечёткости для нечётких множеств. Задачи и методы фуззификации и дефуззификации.

Для определения степени нечеткости множества введено понятие меры нечеткости, сводящейся к измерению уровня различия между нечетким множеством A и его отрицанием.

Наиболее популярна мера Е. Егера, где n — количество элементов в A, — расстояние между между множествами в метрике p (p равно 1 или 2). Значение p соответствует метрике Хемминга а значение p=2 соответствует эвклидовой метрике