Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы (стр. 14 )

выводимости не обладает свойством монотонности, т. е. существуют такие множества формул G, F, E, что выполняется следующее свойство.

Немонотонность отношения выводимости:

Однако отношение немонотонного вывода может иногда удовлетворять

свойству полумонотонности, когда для любых множеств G, F, E, формул верно:

55.  Логики умолчаний. Правила вывода. Понятие расширения. Альтернативные расширения.

Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.

Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т. е. получается, что киви летает. Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить, что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.

Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде правил вывода, называемых умолчаниями:

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со всем, во что мы верим, то можно верить и γ.

Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:

Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями, состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых предположений. Эти множества представляют различные картины мира, которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.

В общем виде умолчание выглядит следующим образом: , где α – требование, β – обоснование, γ – следствие. Среди умолчаний выделяют нормальные и полунормальные как и среди теорий с умолчанием.

Умолчания теории с умолчаниями позволяют строить расширение такой теории. Пусть Ldflt – язык, на котором задаются формулы теории с умолчаниями, тогда расширением теории Δ с умолчаниями, заданной парой <F, D>, будет такое множество E тогда, выполняется следующее:

, где ρ – замкнутая формула.

Доказательство множества формул {f}(формулы f), в теории Δ с умолчаниями (Δ=<D, F>) определяется следующим образом: <D0, D1,…, Dk>, при условии, что верно:

, где CC(Di) – конъюнкция следствий умолчания Di, DC(Di-1) – конъюнкция требований умолчания Di-1.

56.  Логики умолчаний. Понятие нормальной и полунормальной теории. Понятия вывода и доказательства.

Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.

Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т. е. получается, что киви летает. Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить, что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.

Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде правил вывода, называемых умолчаниями:

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со всем, во что мы верим, то можно верить и γ.

Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:

Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями, состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых предположений. Эти множества представляют различные картины мира, которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.

Нормальная теория – теория, в которой следствие и обоснование одного и того же умолчания совпадают. Такие теории состоят из нормальных умолчаний:

Кроме такого свойства, как свойства допускать хотя бы одно расширение, нормальная теория с умолчаниями обладает свойством полумонотонности: если увеличить множество умолчаний, то полученная теория допускает расширение, включающее какое-то расширение исходной теории. Практически важное следствие этого свойства состоит в возможности построения такой теории доказательств, в которой использованные умолчания проявляются локальным образом.

В полунормальной теории умолчания имеют вид:

В общем, полунормальное умолчание явно управляется дополнительным условием в обосновании. Теория с полунормальным умолчаниеми не обязательно обладает расширением. Она теряет некоторые достоинства нормальных теорий, в частности полумонотонность.

Определим доказательство в теории с умолчаниями следующим образом. Пусть ∆= (D, F) – замкнутая нормальная теория и f – замкнутая формула из языка L. Конечна последовательность D0, …, Dk конечных подмножеств из D – есть доказательство для f в ∆ тогда и только тогда, когда

F{KC(D0)} |− f,

F{KC(Di)} |− KT(Di-1) для i = 1, 2, …, k,

Dk = ,

F{KC(Di)| 0 ≤ i ≤ k} выполнимо,

где KC(Di) – конъюнкция следствий и KT(Di) – конъюнкция требований умолчаний из Di.

Итак, доказательство – есть последовательность подмножеств умолчаний.

57.  Немонотонные логики Мак-Дермотта. Правила вывода, теоремы.

Мак-Дермотт и Дойл предложили изящный метод, позволяющий избежать зацикливания при задании правил немонотонного вывода. Они предложили неконструктивную характеризацию устойчивых множеств взаимно выполнимых формул, немонотонно выводимых из некоего набора посылок. Эти множества – суть решения некоторого уравнения, являющегося неподвижными точками и связанные с отношением выводимости, определяемым данной немонотонной системой. Соответствующая система может рассматриваться как классическая модальная аксиоматическая система, пополненная правилом выводы выполнимых утверждений.

Немонотонная аксиоматическая система содержит три вида элементов:

·  «нелогические сведения», являющиеся формулами из языка L со статусом дополнительных аксиом;

·  схемы логических аксиом;

·  логические правила вывода.

Совокупность схем логических аксиом будет состоять из схем формул, аксиоматизирующих логику предикатов, а также из модальных аксиом. Множество правил вывода будет содержать (кроме обычных правил: modus ponens, универсального обобщения и модальной необходимости) специфическое правило немонотонного вывода.

Правила вывода (p, q – производные формулы из языка L):

·  modus ponens: p, p q |– q,

·  правило универсального обобщения: p |– (v)p,

·  правило необходимости: p|–Lp,

·  правило немонотонного вывода

Выбирая разные подмножества из списка схем модальных аксиом (схема аксиомы знаний, схема Баркан, схема позитивной интроспекции, схема негативной интроспекции), получаем различные системы немонотонного вывода.

Основная ценность немонотонной логики Мак-Дермотта заключается в методе неподвижной точки, используемой для характеризации устойчивых множеств заключений немонотонной системы, а также в применении модальной логики для формирования модифицируемых рассуждений.

58.  Аксиоматический подход к формализации математики. Аксиоматика Цермело.

Одним из приложений в рамках аксиоматического подхода является формализация понятий в рамках всей математики. Построено несколько различных аксиоматических систем (теорий), которые позволяют формализовывать довольно большое множество математических абстракций. Одной из таких систем является аксиоматическая система Цермело-Френкеля, являющейся стандартной для теории множеств. К ней часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело – Френкеля с аксиомой выбора.

Вначале определим некоторые обозначения:

Оператор i.

Пустое множество.

Двуэлементное множество.

Объединение двух множеств.

Пересечение двух множеств.

Отношение подмножества.

Декартово произведение двух множеств.