Составляющие формальной системы. Язык формальной теории. Синтаксис формального языка, отношение между формулой и подформулой, сложные и атомарные формулы (стр. 16 )

Другую меру нечеткости предложил Б. Коско, она основана на кардинальных числах множеств.

Фуззификатор осуществляет преобразование четкого множества X в нечеткое множество A, характеризующееся функцией принадлежности . Наибольшее распространение на практике получили функции принадлежности гауссова типа, а также треугольные и трапецеидальные функции.

Функция Гаусса для переменной x с центром c и параметром ширины σ имеет следующий вид . Находит также применение обощенная гауссова функция в виде , где b — параметр формы. Легко заметить, что подбором параметра формы b обощенной функции Гаусса можно придать треугольную и трапецеидальную формы. Обобщенная функция Гаусса может быть также представлена в рациональной форме

Симметричная треугольная функция принадлежности может быть описана в виде

Дефуззификатор преобразует нечеткое множество, заданное функцией принадлежности , в скаляр. Для такого преобразования могут быть использованы многие способы, наиболее популярны следующие.

Дефуззификация относительно центра области

Дефуззификация относительно среднего центра, где ci — центр i-ой одиночной функции принадлежности, участвующей в итоговой агрегированной функции.

Дефуззификация относительно среднего максимума , где m — количество максимумов функции принадлежности, yi — значение, в котором функция принадлежности имеет максимум.

Дефуззификация в виде минимального из максимальных , где yi — значения, доставляющие функции принадлежности максимум.

Дефуззификация в виде максимального из максимальных

62.  Нечёткое отношение. Свойства бинарных нечётких отношений.

Нечетким отношением на множествах называется нечеткое подмножество декартова произведения .

Обычное неразмытое n-арное отношение определяется как подмножество декартова произведения множеств . Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности

Далее мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений, являющихся отображением на отрезок [0,1], т. е.

Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.

1. Рефлексивность:

2. Слабая рефлексивность:

3. Сильная рефлексивность:

4. Антирефлексивность:

5. Слабая антирефлексивность:

6. Сильная антирефлексивность:

7. Симметричность:

8. Антисимметричность:

9. Асимметричность:

10. Сильная линейность:

11. Слабая линейность:

12. Транзитивность:

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии α-уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что L линейно упорядочено.

α-уровнем нечеткого отношения R называется обычное отношение Rα, определяемое для всех α>0 следующим образом:

Теорема. Нечеткое отношение R обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильной антирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его α-уровни.

63.  Алгебры чёткой и нечёткой логики. Нечёткие высказывания.

Алгебра логики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Высказывания строятся над множеством , где B — непустое множество, над элементами которого определены операции:

, а также две константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание <b есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Высказывания строятся над множеством (А, т,Ф, У,Т,//, «, ⌐ ), где т – отношение нечеткой принадлежности, Ф – отношение нечеткого подмножества, У – операция нечеткого объединения, Т – операция нечеткого пересечения, // - операция нечеткой разности, « - операция нечеткой симметрической разности, ⌐ - отрицание. А – множество, для которого определены следующие отношения и операции:

·  Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

·  Высказывание <b есть mb'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

·  Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

64.  Нечёткие логические функции. Семантическое различие нечётких логических функций и операций над нечёткими множествами.

Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x1, x2, …, xn) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Пусть и Y – четкие множества. X=X1´X2´…´ Xn – декартово произведение множеств, и B – нечеткие подмножества множеств и Y соответственно. Если - обычная (четкая) функция, то нечеткая функция определяется как

, где

Нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MFc(x)/x}, MFc(x) [0,1]. Операции над нечеткими множествами заключаются в получении нового нечеткого множества на основании значений степеней принадлежности MFc(x). Таким образом, операции результат операции фактически определяется степенями принадлежности MFc(x).

То же время значение нечеткой логической функции получается на основании непосредственно элементов области рассуждения Х.

65.  Нечеткие предикаты. Темпоральная семантика нечетких предикатов.

Нечёткий предикат – это нечёткое множество, значения которого интерпретируются как значения истинности. Над нечёткими предикатами определены нечёткие операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и другие. В зависимости от предметной области эти операции могут отличаться, т. е. могут существовать разные виды нечёткой конъюнкции, нечёткой дизъюнкции, нечёткой импликации. Эти виды определяются зависимостью выражаемых предикатами свойств и явлений: например явления могут быть причинно-зависимыми, независимыми и альтернативными. Однако, не смотря на различие зависимостей нечёткие логические операции сохраняют некоторые общие свойства для любой предметной области: так например операция нечёткой конъюнкции удовлетворяет свойствам операции, которую называют треугольной нормой или t-нормой. Эти свойства следующие.