Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 2 )

(-0,01;0,01). Чем меньше , тем больше номер N. Все члены последовательности приближаются к нулю, но ни при одном n, не обращаются в нуль.

Рассмотрим пример последовательности с общим членом ,

1,

Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см. рис.2)

Рис. 2. Числовая последовательность с общим членом xn=(-1)

Видно, что члены последовательности приближаются к нулю, при этом ни один элемент последовательности не равен нулю. Для любого, сколь угодно малого, >0, можно указать номер N, начиная с которого для всех nN, справедливо неравенство < . Так для =0,1 номер N =11, для =0,01, номер N =101 и т. д. Значит, последовательность также является бесконечно малой.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

1.  Сумма бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. .

2.  Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .

3.  Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .

4.  Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность , которая является бесконечно малой. .

5.  Если все члены бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательностьбесконечно большая. .

Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности и обозначается

, или при (2)

Дадим эквивалентное определение. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого сколь угодно малого положительного , найдется номер N, такой, что при все элементы последовательности xn удовлетворяют неравенству

(3)

Неравенство эквивалентно неравенству . Будем говорить, что xn попадает в - окрестности точки (рис. 3).

Рис. 3.

Проще говоря, число называется пределом последовательности , если в любой ε-окрестности точки лежат все члены последовательности , за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Так как , то общий член , или . Будем говорить, что любой элемент сходящейся последовательности может быть записан в виде , где - элемент бесконечно малой последовательности.

Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.

1. Последовательность сходится и .

Составим последовательность .

Докажем, что последовательность бесконечно малая. Если , то , и поэтому по данному >0 достаточно выразить номер N из условия или .

2. Последовательность сходится к числу а=2.

Действительно, , тогда последовательность бесконечно малая.

Свойства сходящихся последовательностей

1.  Сходящаяся последовательность имеет только один предел (без доказательства).

2.  Сумма сходящихся последовательностей и есть последовательность сходящаяся, а её предел равен сумме пределов.

Доказательство. Пусть , тогда , – бесконечно малая последовательность, , тогда , – бесконечно малая последовательность.

Сумма . Общий член последовательности может быть записан , т. к. есть сумма двух бесконечно малых последовательностей и является бесконечно малой последовательностью, то , где , то .

3.  Разность сходящихся последовательностей и есть последовательность сходящаяся, а её предел равен разности пределов. Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

4.  Произведение сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, а её предел равен произведению пределов.

Доказательство. Пусть , ,тогда , , где и – бесконечно малые последовательности. Произведение , а .