Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 7 )

Пример 19. Найти .

Решение. Разделим числитель и знаменатель на х6. В результате получим: . Подстановка в преобразованное выражение предельного значения х даёт значение предела, равное .

Пример 20. Найти .

Решение. Подстановка значения х = -3 в выражение под знаком предела даёт неопределённость . Представим числитель дроби в виде , знаменатель в виде , – корни уравнения ). После сокращения на общий множитель получим .

Пример 21. Найти .

Решение. Подстановка значения х = 0 в выражение под знаком предела даёт неопределённость . Так как функция под знаком предела содержит выражение вида , умножим и разделим его на сопряженное выражение. В результате преобразований получим:

= .

Подставив в получившееся выражение x = 0, найдем значение предела:

.

Пример 22. Найти предел .

Решение.

Пример 23. Найти предел

Решение.

Пример 24. Найти предел

Решение. =

Пример 25. Найти предел

Решение. ==

Пример 26. Найти предел

Решение. =

Пример 27. Найти предел

Решение. =

Пример 28. Найти предел

Решение. =

Пример 29. Найти предел

Решение. Сделаем замену . Получим

=

Пример 30. Найти предел

Решение. Сделаем замену . Получим

=

Пример 31. Найти предел

Решение. Сделаем замену . Получим

=

Пример 32. Найти предел

Решение. =

Пример 33. Найти предел

Решение. ===

Пример 34. Найти предел

Решение. ==

Пример 35. Найти предел .

===

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если . Легко убедиться, что является бесконечно малой. Действительно, где т- любое целое положительное число.

Функция называется бесконечно большой в точке а справа (слева), если для любой сходящийся к а последовательности заданий аргументов , , , ,…, , элементы которой больше а (меньше), соответствующая последовательность значений функции ,,…, ,…является бесконечно большой определённого знака.

или ,

или ,

или ,

или .

Познакомимся с методикой сравнения бесконечно малых функций.