Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 4 )

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем

Пример 12. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на - старшую степень числителя и знаменателя. Поскольку при то , и по свойствам предела получаем

Пример 13. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю; далее разделим числитель и знаменатель на :

Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при

Пример 14. Найти предел

Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

ЛЕКЦИЯ 15. Функция одной переменной. Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва.

Функция. Способы задания. Основные элементарные функции. Сложная функция.

Если каждому x из множества {x} ставится в соответствие по известному закону некоторое число y, то говорят, что на множестве {x} задана функция .

х – независимая переменная, аргумент функции; у – зависимая переменная.

Множество {x} - множество определения функции, множество {у} - множество её значений.

Рассмотрим примеры функций:

1. . Эта функция задана на всей числовой оси 0X, т. е.. Множество её значений {у} – полупрямая .

2.

происходит от латинского слова signum - знак.

Эта функция задана на бесконечной прямой, а множество её значений .

Рис 1. График функции

3. ,где [x] обозначает целую часть вещественного числа: «y равно антье x» (от французского слова entier целый).

Это функция задана для любого х, принимает значения целых положительных и отрицательных чисел. Построим график этой функции.

Рис. 2. График функции

4. Модуль действительного числа x

Рис. 3. График модуля действительного числа

Способы задания функции.

1. Аналитический способ задания

Функция задана аналитическим уравнением связи между переменными x и y.

Такой вид уравнения называется явным уравнением.

Функция может быть задана аналитическим неявным уравнением .

Например,

1. - явное аналитическое уравнение;

2. - неявное аналитическое уравнение.

2. Табличный способ задания

			…
			…

Довольно распространённый способ задания функции, устанавливающий зависимость между переменной и . На практике часто неизвестна аналитическая связь между и . Если необходимо найти значение для , не входящего в таблицу, то используется метод интерполяции, заключающийся в замене функции между её табличными значениями какой-либо простой, легко вычисляемой функцией, например, линейной или квадратной.

3. Графический способ задания

В практике физических измерений используется графический способ задания. Связь между переменными x и y задается посредством графика. Например, кривая, снятая на осциллографе.

Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1. y=xn – степенная функция

2. y=ax – показательная функция

3. y=logax – логарифмическая функция

4. y=signx

5. y=cosx

6. y=tgx – тригонометрические функции

7. y=ctgx

8. y=arcsinx

9. y=arccosx – обратные тригонометрические функции

10. y=arctgx

11. y=arcctgx

Все эти функции подробно изучены и исследованы в школьном курсе элементарной математики.

Бесконечное множество функций получено из элементарных при помощи четырех действий математики, а также при помощи принципа суперпозиции.