Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 9 )

Как известно, . Пусть . Положим . Тогда , где - натуральное число, а - удовлетворяет условию . Так как , , то

При имеем

=

Отсюда получаем

Пусть теперь . Положим . Тогда

=== при .

II - ой замечательный предел можно записать в эквивалентной форме:

(5)

Очень часто II замечательный предел записывают в логарифмической форме. Для этого прологарифмируем равенство по основанию «е» формулу (5): или – логарифмическая форма записи.

Отсюда видно, что .

Гиперболические функции

Функция

(6)

называется гиперболическим синусом. Функция

(7)

называется гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞;0) и возрастающей на промежутке (0;+∞). Точка (0;1) является минимумом этой функции.

Рис. 2. Графики функций и .

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс:

, (8)

Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех . Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты (при ) и (при ).

Рис. 3. Графики функций и .

Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно и . У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: при и при .

Рис.4. Графики функций и Рис.5. Графики функций и

СЕМИНАР 16. Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва.

Пример 1. Найти предел функции

Решение.

Пример 2. Найти предел функции

Решение.

Пример 3. Найти предел функции

Решение.

Пример 4. Докажем, что, при действительном .

Решение. , где t=kx, при , .

Пример 5. Найти предел функции .

Решение.

Пример 6. Найти предел функции .

Решение.

Пример 7. Найти предел функции .

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пример 8. Найти предел функции .

Решение.

Пример 9. Найти предел функции .

Решение.

Пример 10.. Найти предел функции .

Решение.

Пример 11. Найти предел .

Решение. ==. Сделаем замену . Тогда . ==

Пример 12. Найти предел .

Решение. Сделаем замену . ===

Пример 13. Найти предел .

Решение.