Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 6 )

Точка называется точкой устранимого разрыва I рода, если функция справа и слева от точки имеет конечные и равные предельные значения т. е.

Рассмотрим пример. Пусть задана графически (см. рис. 4), при этом не определено, т. е. является точкой разрыва.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру.

Т. к. , то точка является точкой устранимого разрыва, т. к. функцию можно задать следующим образом:

Вводя предельное значение в область определения функции, устраним разрыв.

1.2. Точки неустранимого разрыва I рода.

Точка является точкой неустранимого разрыва I рода, если справа и слева от точки существуют конечные предельные значения функции, но они не равны, т. е. , , .

Рассмотрим пример. Пусть задана графически и в точке не имеет конечного значения . На рисунке 5 видно, что , и . В точке функция делает «скачок». Точка является точкой неустранимого разрыва I рода.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру.

2. Точки разрыва II рода.

Точка является точкой разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних предельных значений или хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.

Упрощенно говоря, что все точки разрыва, которые не являются точками разрыва I рода, являются точками разрыва II рода.

Рассмотрим примеры функций, представленных графически (рис. 6, рис. 7):

Рис. 6.

Рис. 7.

Точка x=a на рисунках – точка разрыва II рода.

СЕМИНАР 15. Функция одной переменной. Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва.

Пример 1. Найти

Решение. т. к.

Пример 2. Найти .

Решение.

Пример 3. Найти .

Решение.

Пример 4. Найти

Решение.

Пример 5. Найти

Решение. Разделим числитель и знаменатель на степень с наивысшим основанием, т. е. на 5x. Затем воспользуемся равенством , если .

Пример 6. Найти .

Решение. Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

Пример 7. Найти

Решение. Имеет место неопределенность вида Произведем замену Тогда при имеем

Пример 8. Найти

Решение. ~

Пример 9. Найти .

Решение.

Пример 10. Найти .

Решение.

Пример 11.. Найти .

Решение.

Пример 12.. Найти .

Решение. .

Пример 13. Найти .

Решение. ==.

Пример 14. Найти .

Решение. ===.

Пример 15. Найти .

Решение. ==.

Пример 16. Найти .

Решение. =.

Пример 17. Найти .

Решение. ==.

Пример 18. Найти .

Решение. Старшая степень x в выражении под знаком предела равна 4. Разделим числитель и знаменатель дроби на х4. В результате получим:

Подстановка в преобразованное выражение предельного значения х даёт значение предела, равное .