Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 5 )

Сложные функции.

При помощи принципа суперпозиции получают сложные функции.

Если на множестве {x} задана функция , а точка х также является функцией , заданной на множестве , то на множестве задана сложная функция .

В этом состоит принцип суперпозиции. Суперпозиций может быть сколь угодно много.

Рассмотрим примеры:

1. -рациональная функция;

- сложная функция;

3. - сложная функция;

4. y=lnlnlnx – сложная функция;

5. - рациональная функция

Примеры 1 и 5 представляют простые функции, составленные при помощи действий арифметики. В дальнейшем будем их называть рациональными функциями.

Предел функции в точке и на бесконечности.

Рассмотрим функцию , заданную на , и точку а, быть может, и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что любая – окрестность точки а принадлежит множеству . Например, точка а может быть границей интервала, на котором задана функция.

Число b называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов х, элементы которой отличны от а, соответствующая последовательность её значений сходится к b. Принято записывать:

(1)

Существует второе определение предела функции. Число b называется пределом функции в точке , если для любого >0, сколь угодно малого, найдется отвечающее ему >0, такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Оба эти определения эквивалентны. Необходимо сделать несколько замечаний, поясняющих смысл этих определений.

Замечание 1. В первом определении особенно важно, что элементы отличны от а, а во втором определении , >0 означает, что не определена в точке , но при этом может иметь предельное значение в точке х=а. Рассмотрим пример. Пусть . Точка не входит в область определения . Нетрудно видеть, что , .

Конечного значения в точке не имеет, но для >0, сколь угодно малого, для всех значений arg x, попадающих в - окрестность точки , соответствующие значения f(x) попадают в – окрестность точки у=2. Следовательно, .

Замечание 2. Можно перефразировать второе определение следующим образом: Число b называется пределом функции в точке а, если для любого наперед заданного >0, сколь угодно малого, можно указать такую - окрестность точки а, что число b приближает значение c точностью до .

Замечание 3. f(x) может иметь только один предел, равный b.

Правый и левый пределы функции.

Введем следующие важные понятия:

Число b называется правым (левым) пределом в точке х=а, если для >0, сколь угодно малого, найдется отвечающее ему >0, что для всех значений arg x, удовлетворяющих условию а< х <а+ (а-< х <а) справедливо .

Для обозначения правого предела принято

(2)

левого предела

. (3)

Для функции в точке х=0 функция имеет левый и правые пределы: ; .

Замечание 4. Если в точке х=а функция имеет правый и левые пределы, и они равны, то имеет конечное предельное значение в точке .

Число b называется пределом функции на бесконечности , если для любой бесконечно большой последовательности её arg {xn}, соответствующая последовательность её значений сходится к b.

При этом принято обозначать:

(4)

Приведем примеры:

1. действительно на рисунке видно, что для всех соответствующие значения . При также имеет предел .

Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва

Функция называется непрерывной в точке x=a, если

(5)

Все точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

Если функция обладает свойством неопределенности в каждой точке некоторого множества , то говорят, что она непрерывна на множестве.

Рассмотрим важные типы точек разрыва.

1.  Точки разрыва первого рода.

1.1. Точки устранимого разрыва I рода.