Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 8 )

Пусть и - две заданные на {x} функции, являющиеся бесконечно малыми в точке x=a.

1. Функция является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если

2. Функция является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если

3. Функции и являются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если , k 0 и k 1

4. Функции и являются эквивалентными бесконечно малыми, если .

Пусть и – две бесконечно большие в точке справа функции, т. е.

и

Будем говорить, что, если

, , то и – бесконечно большие одинакового порядка роста.

Рассмотрим несколько примеров.

1. , – обе функции бесконечно малые в точке x=0

. и являются бесконечно малыми одинакового порядка малости.

2. , – обе функции являются бесконечно малыми в точке х=1. . – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

3. , – обе функции бесконечно большие в точке x=0.

. А(х) и В(х) имеют одинаковый порядок роста в точке x=0 справа и слева.

Мы убедились, что при сравнении бесконечно малых и бесконечно больших предельное отношение даёт неопределенность (читается «нуль» на «нуль»), а предел отношения даёт неопределенность (читается «бесконечность» на «бесконечность»).

Рассмотрим на примерах как избавляться от неопределенностей и для алгебраических функций.

1.

2.

На примерах очень часто сравниваются бесконечно малые (бесконечно большие) функции разных классов.

Например, y=sin x и y=x - две бесконечно малые функции в точке х=0. Предельное отношение дает неопределенность ; y=arctg x и y=arcsin x – две бесконечно малые функции в точке х=0, их предельное отношение и т. д.

Избавиться от таких неопределенностей можно, используя I и II замечательные пределы.

I - ый замечательный предел.

(1)

Докажем справедливость этого предельного отношения. Рассмотрим дугу окружности радиуса с центральным углом, радиальная мера которого равна (, рис. 1). Тогда , , . Очевидно, что площадь треугольника меньше площади сектора , которая меньше площади треугольника , или, что тоже самое, . Принимая во внимание значения этих величин, последнее соотношение можно записать в виде , откуда получаем

(2)

Рис. 1.

Разделив это равенство на , получим

или , (3)

Откуда находим . Так как , то . Поэтому, учитывая первое неравенство (2), для всех , удовлетворяющих неравенствам , получаем .

Итак, при . Отсюда следует, что при , .

Заметим теперь, что функция - четная, т. е. . Поэтому и левый предел функции в точке равен 1, т. е. получаем формулу (1).

Из I замечательного предела видно, что (синус бесконечно малого аргумента х эквивалентен х).

Также легко убедиться в эквивалентности бесконечно малых функций:

Эквивалентность бесконечно малых легко приводит к раскрытию неопределенностей .

II - ой замечательный предел

(4)