Тема V. Предел последовательности и функции. Лекция 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (стр. 3 )

является суммой бесконечно малых последовательностей и сама является бесконечно малой, например, . Тогда и следовательно .

5.  Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть последовательность сходящаяся, а её предел равен частному пределов (без доказательства).

На основании перечисленных свойств можно находить пределы числовых последовательностей.

Число «е». Второй замечательный предел.

Рассмотрим последовательность с общим членом . Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что последовательность - возрастающая и ограничена сверху.

Применив формулу бинома Ньютона, найдем

Представим это выражение в следующей форме:

(4)

Аналогичным образом представим :

Заметим теперь, что при . Поэтому каждое слагаемое в выражении для больше соответствующего слагаемого в выражении для и, кроме того, у по сравнению с добавляется еще одно положительное слагаемое, следовательно, , т. е. последовательность возрастающая.

Для доказательства ограниченности сверху данной последовательности заметим, что каждое выражение в круглых скобках в соотношении (4) меньше единицы. Учитывая также, что , для любого , получим

,

где – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , . Получили, что , т. е. последовательность - возрастающая и ограничена сверху, следовательно, имеет предел. Этот предел обозначается буквой «е».

Leonhard Euler швейцарский, немецкий и российский математик и механик (1707 – 1783)

Число «е» определил Леонард Эйлер (1707 – 1783) – великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни проведший в России, по происхождению швейцарец. Выпишем несколько первых членов этой последовательности: , , , , и т. д. При помощи современных ЭВМ, это число вычислено с точностью до 590 знаков после запятой. Отдавая дань Эйлеру, это число называют числом «е»: е =2,718281…

Итак по определению:

(5)

СЕМИНАР 14. Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Пример 1. Найти предел .

Решение. При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, дробь не меняется. Разделим числитель и знаменатель на n2 и получим

т. к., т. к.

Отношение двух сходящихся есть последовательность сходящаяся и поэтому

.

Пример 2. Найти предел .

Решение.

Пример 3. Найти предел .

Решение.

Пример 4. Найти предел .

Решение. .

Пример 5. Найти предел .

Решение.

Пример 6. Найти предел .

Решение.

Пример 7. Вычислить предел числовой последовательности .

Решение. Дробь - есть отношение двух бесконечно больших величин. В этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень n, встречающуюся в членах дроби (в данном случае на n).

==

Ответ: .

Пример 8. Вычислить предел числовой последовательности

.

Решение.. Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень , встречающуюся в дроби, т. е. на :

Ответ: .

Пример 9. Вычислить предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на

=

Ответ: .

Пример 10. Вычислить предел .

Решение.

Пример 11. Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе: