. Компьютерное моделирование (стр. 3 )

уравнение, не содержащее явно неизвестной функции S (в механике под и понимают обобщенные импульсы и координаты, H (, ) – гамильтониан), то этому уравнению можно сопоставить следующие уравнения характеристик, записанные в канонической форме:

,

где dt – элемент группового пути [52].

В изотропной ионосфере, представляя уравнения эйконала (1.4) в виде

из (1.7) получаем характеристическую систему:

.

Эквивалентная система может быть получена и на основе принципа Ферма, т. е. решением вариационной задачи. В произвольной системе координат xi эта система имеет вид [40]:

где i меняется от 1 до 3, с – скорость света в вакууме, cos ai, sin ai – направляющие косинусы и синусы луча, Hi, Hj – коэффициенты Ламэ.

Впервые метод характеристик для описания ионосферного распространения радиоволн предложил использовать Дж. Хазельгров [107]. В России метод интенсивно внедрялся и развивался с сотрудниками, и был применён кроме работ, выполненных автором данного пособия совместно с , ещё в ряде исследований (см., в частности, [15, 33, 34, 45]).

Более удобной для анализа является форма [98] записи лучевых уравнений в сферической системе координат , вытекающая из характеристической системы, где в качестве независимой переменной взят элемент центрального угла

Здесь ψ – угол падения, φ – азимутальный угол, связанные с траекторией (рис. 1.1).

Рис. 1.1. К виду уравнений траекторных характеристик луча в сферической системе координат

Численное интегрирование систем уравнений вида (1.11) на ЭВМ достаточно хорошо разработано; имеется ряд методов (см., например, [42]), обладающих теми или иными сравнительными достоинствами. Выполненная нами [91] проверка их применения для (1.11) показала, что они при обеспечении примерно одинаковой точности имеют небольшие отличия в быстродействии. Эти отличия могут существенно проявиться при выполнении массовых расчётов, однако для обычного моделирования ими можно пренебречь. Поэтому в программной реализации интегрирования (1.11) в настоящем пособии рекомендуется использование стандартного метода Рунге–Кутта 4-го порядка, подпрограммы по которому имеются в литературе по численным методам.

При решении системы (1.11) в обычной постановке положение точки приёма не закреплено, и перебор всех возможных траекторий определяется изменением начальных значений углов падения на ионосферу ψ0, φ0. Эта постановка соответствует так называемой задаче Коши. Однако на практике типичной является ситуация, когда точка приёма закреплена, т. е. трасса фиксирована, и для неё нужно определить траекторные параметры. Данная ситуация требует решения уже двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Методы решения таких задач также достаточно развиты, однако удобнее применять метод, использующий перебор решений задачи Коши. Этот метод носит название «стрельбы» или «пристрелки» и заключается в следующем: изменяя начальные условия, подбираем такое решение, которое обеспечивает попадание траектории в точку приёма с заданной точностью.

Алгоритмически эта задача может быть наиболее просто решена с использованием метода бисекции, т. е. заключения заданной дальности в вилку, получаемую при каких-то двух соседних значениях углов ψ0, φ0 и дальнейшего деления их интервала пополам. Процесс организуется итеративно, первым подбирается значение ψ0, затем значение азимутального угла.

Практика численного моделирования распространения радиоволн (см. [45, 34]), а также экспериментальные измерения [10, 17, 103] показывают, что азимутальные отклонения траекторий от дуги большого круга – кратчайшего расстояния по Земле, соединяющего точки излучения и приёма, для трасс с дальностью, типичной для ионосферной радиосвязи на ДКМВ (>1000 км), малы. Дополнительное исследование трасс с различными азимутами, проведенное нами, показало, что влиянием поперечных к трассе градиентов ε в ионосфере можно обычно пренебречь (отклонение рассчитанных характеристик сигнала лежит в пределах погрешностей соответствующих измерений), кроме трасс, идущих вдоль сумеречной зоны, которым свойственны большие значения таких градиентов.

С учётом этого ограничения для типичных ионосферных радиолиний в ДКМВ-диапазоне может быть использован более простой и оперативный вариант системы лучевых уравнений, описывающий распространение в двухмерно-неоднородной ионосфере. Соответствующий алгоритм определения параметров сигнала изложен в подразделе 1.3. Алгоритм для трёхмерно-неоднородной ионосферы (см. подраздел 1.6) используется, в общем случае, для тестирования и позволяет при необходимости оценить погрешности, вносимые при исключении поперечных градиентов.

Влияние на распространение радиоволн в ионосфере магнитного поля Земли чрезвычайно усложняет расчёт траекторий сигнала и приводит к возникновению ряда новых эффектов, таких как двойное лучепреломление, вращение плоскости поляризации исходной линейно поляризованной волны и др. При описании распространения сигнала уже не достаточно решения одного скалярного уравнения. Направления распространения сигнала (энергии, переносимой волной) и волнового вектора не совпадают. Поэтому при использовании метода характеристик необходимо численно интегрировать [40] большой набор (свыше десятка) дифференциальных уравнений, определяющих параметры сигнала в магнитоактивной ионосфере. Однако для трасс с дальностью более 1000 км показано [15, 34], что можно использовать приближённый способ учёта магнитного поля Земли. Он заключается в том, что для расчёта двойного лучепреломления система интегрируемых уравнений имеет вид, как в изотропной ионосфере, но используются два значения показателя преломления, определяемые формулой Эпплтона–Хартри [12] для двух компонент поля. Такой способ, позволяющий рассчитать отдельно траектории сигнала для каждой компоненты, все характеристики связанные с ними (поглощение, время распространения и т. д.), и рекомендуется в данном пособии при необходимости учета влияния магнитного поля Земли. В этой связи в подразделе 1.7 изложен способ пересчёта значений показателя преломления в ионосфере с учетом магнитного поля Земли, которое может быть представлено [34] в дипольном приближении.

Вместе с тем результаты численного моделирования в ряде работ [34, 58, 65], многочисленные экспериментальные наблюдения ионограмм наклонного зондирования (см., например, [32, 66]) говорят о том, что траекторные расщепления сигнала на две магнитоионные компоненты редко проявляются на среднеширотных трассах типичной протяженности в ДКМВ-диапазоне. Специальное численное моделирование, предпринятое нами для большого набора трасс, также показало, что эти эффекты имеют в большинстве условий второй порядок малости (разность в высотах отражения компонент порядка 1 км, отличия в дальности распространения составляют несколько километров). Поэтому преимущественно в расчётах вполне может быть использован более оперативный алгоритм, описывающий распространение в изотропной ионосфере (см. разд. 1.2). Тем не менее, в ряде случаев, для более протяжённых трасс с определенной на Земле ориентацией, эти эффекты становятся значительны (так различия в поглощении компонент достигают 6–8 дБ) и должны учитываться в расчётах.

1.3. Расчёт основных параметров сигнала

Разработанный алгоритм вычисления параметров сигнала [91, 89, 105] базируется на описании распространения в изотропной двухмерно-неоднородной ионосфере. Вместе с тем, сделан ряд дополнений, в косвенной мере учитывающий некоторые эффекты, возникающие в более сложных условиях.

Рассмотрим вначале вычисление напряжённости поля в точке приёма. Оно требует определения степени пространственного расхождения лучей – геометрической расходимости [52] и поглощения в ионосфере энергии волны на пути распространения. Расчёт расходимости лучей связан с решением уравнения переноса (1.5), однако более удобным в случае двухмерно-неоднородной ионосферы является способ её определения через изменение поперечного сечения элементарной лучевой трубки [52]. Это изменение может быть найдено, как показано ниже, с помощью анализа соответствующих геометрических соотношений. Обратимся к рис. 1.2.

Рис. 1.2. К расчёту пространственного расхождения лучей

Пусть передатчик находится в точке О над земной поверхностью и излучает равномерно во всех направлениях. Сечение эффективного конуса G на единичном расстоянии от излучателя:

.

Сечение на некотором расстоянии определится как

.

Учтём, что

и , .

Отсюда