. Компьютерное моделирование (стр. 7 )

и

соответственно, так что:

Необходимо отметить, что сплайны чётных степеней имеют особенность. В теории интерполяции показывается, что в некоторых случаях они могут быть неустойчивыми. Поэтому посредством численного моделирования была выполнена проверка квадратичного сплайна для классов функций, описывающих зависимости ионосферных параметров, показавшая его полную применимость в данном случае.

Величина дополнительных ошибок, вносимых при интерполяции сплайнами, определяется расстояниями между узлами. Если их выбирать сколь угодно малыми, то при высокой точности вычислений оперативность их была бы низкой. Кроме того, резко возрос бы размер массива коэффициентов. Поэтому необходимо оценить оптимальные величины дискретов при интерполяции. Несмотря на то, что в теории сплайн-интерполяции имеются общие оценки погрешностей значений функции, их применение не позволяет непосредственно получить погрешность конечного результата. В данном случае таковым являются характеристики ДКМ-сигнала, используемые при моделировании. Поэтому для определения оптимальных величин дискретов было проведено численное моделирование по следующей методике. Сначала вычисления характеристик распространения выполнялись для аналитической модели ионосферы (эти значения использовались в качестве тестовых). Затем из модели в определённых точках (xi, zj) находились значения диэлектрической проницаемости, они брались в качестве узловых при интерполяции. Далее проводились расчеты тех же радиофизических характеристик, но значения ε в любой точке вычислялись путем обращения к процедурам сплайн-интерполяции. Полученные результаты сравнивались с тестовыми.

Предварительно проведенные исследования ошибок интерполяции для двухслойной модели ионосферы показали, что наибольшие значения относительных ошибок δε соответствуют интервалу высот в окрестности максимума верхнего из слоев. Таким образом, для дальнейших экспериментов можно было выбрать однослойную модель. В качестве таковой была взята экспоненциальная зависимость ε по высоте с горизонтальными градиентами критической частоты и высоты максимума:

Здесь fp – рабочая частота; f11, z11, y1 определяют соответственно критическую частоту, высоту максимума и полутолщину слоя.

Изменение параметров (1.50) вдоль трассы задавалось следующей зависимостью:

Выражения (1.51) формируют переходную область, слева от которой сохраняется примерно постоянное значение f11 = f1 и z11 = z1, в середине её происходит квазилинейное изменение f11 до значения k1f1 и z11 до k1z1, и эти значения затем снова остаются примерно постоянными. Ширину области определяют значения b1 и b2.

В отличие от известного параболического задания ионосферы выражение (1.50) удобнее в данном случае потому, что позволяет исследовать ошибки интерполирования и в нижней части ионосферы.

Двухмерный (бикубический) сплайн должен удовлетворять граничным условиям, заключающимся в задании значений первых или вторых производных на концах участка интерполирования и смешанных производных в угловых точках исходного массива. При работе с аналитической моделью эти значения неизвестны, естественно было бы считать их неопределенными и в данном случае. Поэтому при задании граничных условий полагалось, что вторые производные на концах равны нулю.

Вычисления проводились для набора дискретов по высоте 5, 10, 15, 20 км и вдоль трассы – 100, 250, 500 км. Для односкачковых и двухскачковых трасс и интервала рабочих частот от 5 до 20 МГц рассчитывались дальности, групповое время распространения, углы прихода и величина поглощения сигнала. Были выбраны следующие значения параметров модели (1.50)–(1.51): = 7,5 МГц, = 250 км, = 0,0156 км-2 («полутолщина» слоя примерно 80 км), 0,3; = 0,75; = 0,9. При указанных значениях картина горизонтальных градиентов по трассе следующая. Вначале на расстояниях до 1400–1500 км значения высоты максимума и критической частоты слоя примерно постоянны, затем в области расстояний до 2500–2600 км отрицательные градиенты критической частоты и высоты максимума составляют около 0,25 МГц и 2,5 км на 100 км соответственно. Далее значения критической частоты и высоты максимума вновь остаются практически неизменными.

Для среднепротяжённых трасс форма зависимости диэлектрической проницаемости от высоты обычно значительно сложнее формы кривой . Поэтому при интерполяции наибольшие ошибки связаны с кривой . Вклад ошибок, связанных с интерполяцией зависимости , менее существенен. При малых величинах продольных градиентов, т. е. плавных, медленных изменениях кривой , эти ошибки будут меньше, чем для кривой с более резкими изменениями градиентов. Взятые в этом исследовании величины продольных градиентов близки к максимальным для среднеширотной ионосферы [32]; следовательно, выбран случай, когда ошибки, связанные с формой зависимости , практически наибольшие.

В табл. 1.1 и 1.2 представлены полученные результаты вычислений дальности односкачкового распространения на частоте 15 МГц для спектра углов излучения (возвышения). В табл. 1.1 сведены результаты для следующих наборов величин дискретов при интерполяции: 500–10, 250–10 и 100–10 (здесь и далее первая цифра соответствует расстоянию между узлами в километрах по трассе, а вторая – по высоте; индексом p в таблице обозначен верхний луч). Из таблицы видно, что при дискретах 500–10 ошибки, вносимые при интерполировании, значительны; они существенно падают при дискретах 250–10. Дальнейшее уменьшение расстояния между узлами по трассе до 100 км (100–10) мало изменяет ошибки интерполяции. Поэтому дальнейшее исследование влияния величины дискрета по высоте было проведено для расстояния между узлами по трассе в 250 км.

Таблица 1.2 соответствует набору дискретов 250–5, 250–10, 250–15, 250–20. Она показывает, что если для величины дискретов по высоте в 5 и 10 км ошибки малы (причем опять-таки мало отличаются для обоих случаев), то при увеличении дискретов до 15 км они нарастают и значительно увеличиваются при увеличении расстояния между узлами в 20 км. Из табл. 1.1 и 1.2 видно, что наибольшие ошибки сосредоточены в области низких углов излучения и в области верхних лучей. Вне этих областей ошибки, вносимые при интерполяции малы. Обсуждение этого результата будет проведено ниже.

Сравнение затрат машинного времени при использовании в расчётах непосредственно аналитической модели (1.50) и (1.51) или сплайна показало, что при рассматриваемых величинах дискретов, расчёт траекторий для спектра углов, приведённого в таблице, занимает примерно одно время в обоих случаях, т. е. применение сплайнов для расчётов диэлектрической проницаемости по оперативности практически эквивалентно аналитическому заданию ионосферы.

Таким образом, обсуждаемые выше результаты показывают, что при вычислении дальности скачка оптимальными величинами дискретов для данной рабочей частоты будут 250 км по трассе и 10 км по высоте. Ошибки, получаемые при этом, практически не существенны. Дальнейшее уменьшение величин этих дискретов не приводит к заметному уменьшению ошибок, в то время как перегружает ресурсы ЭВМ и уменьшает оперативность.

Таблица 1.1

Зависимость дальности распространения от угла излучения для разных величин дискретов интерполяции вдоль трассы

Окончание табл. 1.1

Таблица 1.2

Зависимость дальности распространения от угла излучения для разных величин дискретов интерполяции по высоте

Продолжение табл. 1.2

Окончание табл. 1.2

Зависимость величины ошибок от рабочей частоты оценивалась по расчетам дальности на частотах 5, 10, 15, 20 МГц с дискретами 250–10. Расхождение результатов по сравнению с расчётами по аналитической модели в большинстве случаев было менее 0,1 % и, как правило, не превосходило десятых долей процента, только для верхних траекторий (см. ниже) отмечены относительные ошибки от 1 % до 4 %. От номинала рабочей частоты величина ошибок практически не зависит. Далее специально исследовалась связь ошибок δD с ошибками интерполяции диэлектрической проницаемости ε. Наибольшие ошибки в значениях ε, приводящие к отклонениям при вычислении дальности, сосредоточены в начале интервала высот и вблизи минимума ε. Ошибки первой группы связаны с особенностью метода интерполяции – некоторым произволом при задании вида интерполируемой функции на начальном участке. Они быстро спадают с ростом высоты и, естественно, не зависят от частоты. Большие величины ошибок на высотах вблизи минимума ε обусловлены именно тем, что значения здесь минимальны, соответственно возрастают относительные ошибки интерполяции в этой области. На низких частотах отражение радиоволн происходит значительно ниже этих областей, поэтому и ошибки в расчете дальности также малы.