010501 «Прикладная математика и информатика» (стр. 3 )

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих друг за другом в какие-то случайные моменты времени. Например, поток вызовов на телефонной станции.

Простейший (стационарный, пуассоновский) поток событий – поток, обладающий свойствами стационарности, однородности и не имеющий последействия.

Процесс с дискретными состояниями – процесс, возможные состояния которого можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из одного состояния в другое происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс с непрерывным временем – процесс со случайными моментами возможных переходов из состояния в состояние.

Регулярный поток – поток, в котором события следуют через определенные, равные промежутки времени.

Система массового обслуживания – физическая система, предназначенная для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в случайные моменты времени. Например, телефонная станция, ремонтная мастерская, магазин.

Система массового обслуживания с отказами – система массового обслуживания, в которой заявка, пришедшая в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает систему массового обслуживания и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

Система массового обслуживания с очередью – система массового обслуживания, в которой заявка, пришедшая в момент времени, когда все каналы заняты, становится в очередь.

Стационарный поток – поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени.

Схема гибели и размножения – система массового обслуживания с определенным графом состояний. Данный термин ведет начало от биологических задач, где подобным графом описывается изменение численности популяций.

Уравнения Колмогорова вероятностей состояний – определенного вида дифференциальные уравнения, связывающие производные вероятности состояний с интенсивностями потоков событий, переводящими систему из одного состояния в другое, и вероятностями этих переходов. В левой части каждого из этих уравнений стоит производная вероятности некоторого состояния, в правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых ведут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность этого состояния.

Финальная вероятность состояния – предел вероятности этого состояния, зависящего от времени , при , если он существует.

Формула Литтла – формула, согласно которой для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Характеристики системы массового обслуживания – показатели эффективности системы массового обслуживания, описывающие ее способность справляться с потоком заявок.

Элемент вероятности – вероятность попадания на произвольно расположенный элементарный участок времени хотя бы одного события потока.

Практикум по решению задач

1. Системы массового обслуживания

Пример 1. Составить граф состояний следующей системы, состоящей из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Решение. Система может находиться в четырех состояниях: – оба автомата свободны; – первый автомат занят, второй свободен; – второй автомат занят, первый свободен; – оба автомата заняты. Граф состояний данной системы имеет вид.

   
Стрелками указаны возможности перехода системы из состояния в состояние.

Пример 2. Составить уравнения Колмогорова для состояния системы из примера 1.

Решение. Интенсивность потока, переводящего систему из состояния в состояние обозначим через , вероятность нахождения системы в момент времени в состоянии – через . В общем виде уравнение Колмогорова для состояния записывается следующим образом

  .  
Для состояния нашей системы имеем два потока событий непосредственно вводящих систему в данное состояние с интенсивностями и , и два потока событий выводящих из него с интенсивностями и . Поэтому уравнение Колмогорова для состояния имеет вид

  .  

Пример 3. Выписать уравнения, связывающие финальные вероятности состояний и интенсивности потоков событий, для системы со следующим графом состояний.

 

Решение. В общем виде нужные нам уравнения записываются следующим образом

  , .  
Для нашей системы имеем:

  ,  
  ,  
  ,  
  .  

Пример 4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия. Интенсивность потока вызовов – 90 вызовов в час. Средняя продолжительность разговора 2 мин. Определить показатели эффективности работы системы.

Решение. Имеем (1/ч), мин. Интенсивность потока обслуживаний . Относительная пропускная способность , т. е. в среднем только 25% поступающих вызовов осуществляют переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит . Абсолютная пропускная способность вызовов в час.

Пример 5. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. Имеем многоканальную систему массового обслуживания с отказами. Количество каналов , интенсивность потока заявок (1/ч), среднее время обслуживания одной заявки (ч). Интенсивность потока обслуживаний . Интенсивность нагрузки ЭВМ . Найдем предельные вероятности состояний.

,

,