010501 «Прикладная математика и информатика» (стр. 5 )

в) Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей равна

Пример 8. По условию задачи из примера 6 найти показатели эффективности работы причала. Известно, что приходящее судно покидает причал (без разгрузки), если в очереди на загрузку стоит более 3 судов.

Решение. Имеем одноканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью.

Вероятность того, что причал свободен

  .  
Вероятность того, что приходящее судно покинет причал без загрузки

  .  
Относительная пропускная способность причала . Абсолютная пропускная способность причала судов в сутки.

Среднее число судов, ожидающих разгрузку

   ,  
а среднее время ожидания разгрузки

   (суток).  
Среднее число судов, находящихся у причала

  ,  
а среднее время пребывания судна у причала

   (суток).  

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти предельные вероятности систем, заданных графом состояний.

2. Одноканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия. Интенсивность потока вызовов – 0,7 вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора 1,4 мин. Определить показатели эффективности работы системы.

3. Многоканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия с тремя линиями связи. Вызовы поступают каждые 15 сек., средняя продолжительность разговора 1,5 мин. Определить показатели эффективности работы системы.

4. Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью – автозаправочная станция, площадка при которой допускает очередь не более 3 машин. В среднем на заправку прибывает 0,6 машины в минуту. Процесс заправки длится 2 минуты. Определить показатели эффективности работы системы.

5. Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью – стоматологическое отделение поликлиники, состоящее из зубоврачебного кабинета с двумя креслами и коридора для ожидания приема с тремя стульями. Поток клиентов – простейший с интенсивностью 6 клиентов в час, среднее время обслуживания 20 мин. Если все стулья в коридоре заняты, клиент не становится в очередь. Определить показатели эффективности работы системы.

6. Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью – автозаправочная станция с двумя колонками, которая обслуживает поток машин с интенсивностью 0,8 машин в минуту. Среднее время обслуживания одной машины 2 мин. Определить показатели эффективности работы системы.

2. Задачи управления запасами

Пример 1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед. Затраты на пополнение товара не зависят от его объема и равны 100 д. е. Ежедневные затраты на хранение единицы товара составляют 0,02 д. е. Определить оптимальный размер партии при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.

Решение. По формуле Уилсона, оптимальный размер партии равен:

(ед.)

Пример 2. Магазин закупает духи на одной из парфюмерных фабрик. Годовой спрос на этот продукт составляет 600 флаконов. Издержки заказа равны 850 руб., издержки хранения – 510 руб. за одну упаковку (20 флаконов) в год. Магазин заключил договор на поставку с фиксированным интервалом времени. Количество рабочих дней в году – 300. Время поставки товара – 6 дней.

Вопросы:

1) Чему равен оптимальный объем пополнения запаса?

2) Чему равно оптимальное число заказов в течении года?

3) Чему равна точка восстановления запаса?

4) Каковы минимальные совокупные издержки?

Решение. Имеем флаконов, дней, руб., L = 6 дней,

Оптимальный объем пополнения запаса равен

флаконов, т. е. 10 упаковок.

Оптимальное число заказов в течение года

 раза.

Точка восстановления запаса

 флаконов.

Минимальные совокупные издержки равны

руб.

Пример 3. Предположим, что дополнительно к данным задачи из предыдущего примера упущенная прибыль, связанная с отсутствием товара и утратой доверия клиентов, составляет 20 руб. в год за один флакон духов. Необходимо определить оптимальный размер заказа при плановом дефиците и решить вопрос о необходимости введения системы с плановым дефицитом.

Решение. Находим

флакона,

флаконов.

Совокупные издержки равны

руб.

Они меньше издержек без дефицита на 5100 – 3381,3 = 1718,7 руб. Следовательно, целесообразно ввести систему с плановым дефицитом. Оптимальный дефицит равен флаконов.

Пример 4. На первом станке производятся детали в количестве 12 000 ед. в месяц. Эти детали используются для производства продукции на втором станке производительностью 3 600 ед. в месяц. Оставшиеся детали образуют запас. Издержки хранения составляют 0,5 руб. за одну деталь в месяц. Стоимость производственного цикла на первом станке равна 800 руб. Требуется определить оптимальный размер партии на первом станке, если период планирования равен четырем месяцам.

Решение. Оптимальный размер партии на первом станке шт.,

оптимальное количество пополнений ,

оптимальное время между заказами .

Пример 5. Решим задачу управления запасами при случайном спросе со следующими данными: д. е., д. е.

	0	1	2	3	4	5
	0,900	0,050	0,020	0,010	0,010	0,010	0

Имеем ;

для : ;

для : ;

для : .

Следовательно, минимум затрат имеет место при и равен

Найдем для нашей задачи убытки из-за неудовлетворенного спроса. Имеем

  ; ; .