010501 «Прикладная математика и информатика» (стр. 4 )

,

,

т. е. в стационарном режиме вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени – три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (занятости всех трех ЭВМ) . Относительная пропускная способность центра , т. е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок. Абсолютная пропускная способность заявок в час. Среднее число занятых каналов , т. е. каждая ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на .

Пример 6. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем два судна.

Решение. Имеем одноканальную систему массового обслуживания с неограниченной очередью. Загрузка системы . Так как , то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что причал свободен , а вероятность того, что он занят, . Вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т. е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны соответственно

  , ,  
  .  
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна

  .  
Среднее число судов, ожидающих разгрузки, , среднее время ожидания разгрузки (суток). Среднее число судов, находящихся у причала, (суток), а среднее время пребывания судна у причала (суток).

Пример 7. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контроллером-кассиром одного покупателя мин. Определить:

а) минимальное количество контроллеров-кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при ;

б) оптимальное количество контроллеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при и ;

в) вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.

Решение. Для решения задачи нам понадобятся формулы для расчета характеристик многоканальных систем массового обслуживания с неограниченной очередью.

а) По условию . Найдем величину загрузки системы . Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии , т. е. при . Значит минимальное количество контроллеров-кассиров .

Найдем характеристики системы обслуживания при .

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели

, т. е. в среднем 2,5% времени контроллеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь

  .  
Среднее число покупателей, находящихся в очереди

  .  
Среднее время ожидания в очереди

   (мин).  
Среднее число покупателей в узле расчета

  .  
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета

   (мин).  
Среднее число контроллеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей .

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контроллеров-кассиров равен .

Абсолютная пропускная способность узла расчета чел. в мин или 81 покупатель в час.

б) Относительная величина затрат при

  .  
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях .

Характеристика обслуживания	Число контроллеров-кассиров
3	4	5	6	7
Вероятность простоя контроллеров-кассиров	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Среднее число покупателей в очереди	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Относительная величина затрат	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

По таблице, минимальные затраты получены при контроллерах-кассирах.

Определим зарактеристики обслуживания узла расчета при . Имеем , ,  (мин), ,   (мин), , .

Как видим, при по сравнению с существенно уменьшились вероятность возникновения очереди, длина очереди, среднее время пребывания в очереди, среднее время нахождения покупателей в узле расчета, а также доля занятых обслуживанием контроллеров-кассиров. Но среднее число занятых обслуживанием контроллеров-кассиров и абсолютная пропускная способность узла расчета естественно не изменились.