Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 2 )

Построить пространство элементарных исходов W для описания событий:

А = {выпало ровно два герба}, В = {выпало не менее двух гербов},

С = {выпало не более одного герба}, D = {выпало ровно три герба},

E = {выпало не менее одной цифры}.

Исходом каждого бросания служат события Г = {выпадение герба} и Ц = {выпадение цифры}. Исходом эксперимента является выпадение либо трех гербов, либо трех цифр, либо комбинации гербов и цифр. Эти исходы будем записывать наборами символов ГГГ, ЦЦЦ, ГЦГ и т. д.

Используя эти обозначения, пространство элементарных событий опишем следующим образом: W = {ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦГЦ, ГЦЦ}. Тогда А = {ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, В = {ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГГГ}, С = {ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ}, D = {ГГГ},
Е = {ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ЦЦГ, ЦГЦ, ГЦЦ, ЦЦЦ}.

Отметим, что события В и С противоположны, противоположны также события D и Е.

Пример 1.2. Пусть А, В, С – произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В и С:

а) произошло только А;

б) произошли А и В, но С не произошло;

в) все три события произошли;

г) произошло по крайней мере (хотя бы) одно из этих событий;

д) произошло по крайней мере (хотя бы) два события;

е) произошло ровно одно из этих событие;

ж) произошло ровно два из этих событий;

з) ни одного события не произошло;

и) произошло не более двух событий.

Используем определение операций сложения и умножения событий, тогда

а) {произошло только А} = А × ;

б) {произошли А и В, но С не произошло} = ;

в) {все три события произошли } = А × В × С;

г) {произошло хотя бы одно из трех событий} = А + В + С.

Заметим, что это событие можно представить в виде суммы попарно несовместных событий, т. е. в виде

;

д) {произошло хотя бы два из трех событий} = А × В + А × С +
+ В × С или в виде суммы попарно несовместных событий:

;

е) {произошло ровно одно из этих событий} = ;

ж) {произошло ровно два из этих событий} = ;

з) {ни одного события не произошло} = ;

и) {произошло не более двух событий} = или в виде суммы попарно несовместных событий .

Пример 1.3. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами . Событие Аk = {попадание в круг радиуса rk}. Что означают события а)  б) с)  д) ?

а) {попадание в круг радиуса r6}, б) = {попадание во внешность круга радиусом r6},

с) {попадание в круга радиуса r1},

д) = {попадание в кольцо между окружностями радиусов r1 и r2}.

Построим диаграмму Венна для трех совместных событий А, В и С, которую будем использовать при интерпретации сложных событий, рассматриваемых в примере 1.4.

Пример 1.4. Психолог консультирует троих человек, приходящих в течение условленного часа. Обозначим события:

А1 = {первый пришел на беседу}, А2 = {второй пришел на беседу}, А3 = {третий пришел на беседу}. Что означают события:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ?

Изобразим диаграммы Венна для каждого случая, тогда

а) событие означает, что все трое нуждаются в консультации психолога;

б) событие В состоит в том, что двое требуют внимания психолога;

в) событие С – только один (любой из троих) требуют внимания психолога;

а б в

г) событие D означает, что хотя бы один из троих нуждается в консультации;

д) событие E – ни одному из троих не нужен психолог;

е) событие F означает, что в консультациях психолога нуждается не более двух;

г д е

Пример 1.5. Для произвольных событий А, В:

а) доказать тождество ;

б) упростить выражение ;

в) доказать, что событие достоверно;

г) доказать, что события А, образуют полную группу событий.

Учитывая определение операций над событиями (табл. 1.5) и свойства этих операций (табл. 1.6), имеем

а) = А + А×W = А + А º А;

б) если учтем результат, полученный в а), тогда

;

в) Æ + + Æ + Æ + ++ Æ = + = + А×W = + А = W;

г) для того чтобы доказать, что события образуют полную группу, необходимо найти их сумму и попарные произведения, которые должны быть достоверными и невозможными событиями соответственно.

Сумма событий

является достоверным событием. Найдем попарные произведения событий : ; ;

.

II. Элементы комбинаторики

1. Комбинаторика. Основные комбинаторные правила. 2. Клас­сификация соединений элементов некоторого множества. 3. Формулы для подсчета числа размещений, перестановок, сочетаний

Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов дискретного множества. Методы комбинаторики позволяют в теории вероятностей определить пространство элементарных

событий W и подсчитать число элементарных событий, благоприятствующих случайному событию А.