Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 1 )

I. Случайный эксперимент. Случайные события

1. Классификация событий. 2. Алгебра событий

Теория вероятностей занимается изучением объективных закономерностей случайных явлений. В основе теории вероятностей лежит понятие случайный эксперимент (опыт или испытание).

Эксперимент – любое реальное или мыслимое действие, результаты которого изучаются. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым известным исходом (результата или эксперимента), но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно. Примеры исходов опыта приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 

Эксперимент	Исходы эксперимента
Бросание монеты	Выпадение цифры или герба
Сдача студентом экзамена	Получение оценок 5, 4, 3, 2
Бросание игральной кости	Выпадение на верхней грани цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6

Результаты (исходы) экспериментов (испытаний) в теории вероятностей называют событиями и обозначают буквами: А, В,…. Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. В дальнейшем будем опускать термин «случайные».

Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, называется достоверным, а событие, которое никогда не наступит
в данном опыте, – невозможным. Примеры таких событий приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Опыт	События
достоверные	невозможные
Бросание игральной кости	Появление целого числа на одной грани	Появление на одной грани числа большего шести
Двукратное бросание игральной кости	Сумма выпавших чисел не больше 12	Произведение выпавших чисел делится на 14

Противоположным событию А называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступит событие А, и обозначают его . Примеры таких событий приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3 

Эксперимент	Событие А	Событие (противоположное)
Три выстрела по мишени	Не более двух попаданий в мишень	Ровно три попадания в мишень
	Хотя бы два попадания в мишень	Ровно одно попадание в мишень
Из урны, содержащей белые и черные шары, взяты два шара	Вынуты два шара одного цвета	Вынуты два шара разного цвета

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других в данном опыте. Несколько несовместных событий, являющихся результатом некоторого опыта, образуют полную группу событий, если в результате испытания наступает хотя бы одно из них.

Элементарными событиями называют несовместные, взаимоисключающие исходы данного опыта, при каждом осуществлении которого наступает один и только один из них. Элементарные события обозначают: wi.

Полная группа элементарных событий образуют пространство элементарных событий, которое обозначают W = {wi}, где {wi} – множество всех элементарных взаимоисключающих исходов.

В силу данного определения все пространство элементарных событий W соответствует достоверному событию, пустое множество Æ – невозможному событию, а события А, В,… являются подмножествами W.

В табл. 1.4 представлены примеры описания W – пространства элементарных исходов.

Таблица 1.4

Опыт	Элементарные события	Пространство элементарных исходов
Бросание а) одной монеты б) двух монет	Г = {появление герба} Ц = {появление цифры}	а) W = {Г, Ц} б) W = {ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}
Результат игры в шахматы	П = {победа} Р = {проигрыш} Н = {ничья}	W = {П, Р, Н}
Сдача студентом экзамена	«5» = {получение 5} «4» = {получение 4} «3» = {получение 3} «2» = {получение 2}	W = {«5», «4», «3», «2»}
Из урны, содержащей белые и черные шары, взяты два шара	Б = {вынут белый шар} Ч = {вынут черный шар}	W = {Б × Б, Ч × Ч, Ч × Б, Б × Ч}

Опишем действия с событиями, которые позволяют составлять сложные события с помощью элементарных.

Суммой событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них и обозначаемое А + В.

Произведением событий А и В является событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходят и событие А, и событие В, и обозначаемое А × В.

Полная группа событий с помощью этих правил определяется так: если иÆ, " i ¹ j, тогда {A1, A2, …, An} – полная группа событий.

Разностью событий А и В называется событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, и обозначаемое А \ В.

Говорят, что событие А влечет событие В, или событие В является следствием события А, если А является подмножеством В, т. е. А Ì В.

Событие А и В называются равными, или эквивалентными, если состоят из одних и тех же элементарных исходов, т. е. совпадают как множества: А = В.

Таблица 1.5

Термины, отношения, операции	Графическая иллюстрация. Диаграммы Венна
Теория вероятностей	Теория множеств
W – достоверное событие	U – универсальное множество
Æ – невозможное событие	Æ – пустое множество
А Ì В	Событие В – следствие события А	А Ì В	Множество А – подмножество множества В
А = В	События А и В совпадают	А = В	Множество А равно множеству В, если А Ì В, В Ì А
А + В	Сумма событий А и В	А È В	Объединение множеств А и В {х | x Î A Ú x Î B}
А × В	Произведение событий А и В	А Ç В	Пересечение множеств А и В {х | x Î A Ù x Î B}
А \ В	Разность событий А и В	А \ В	Разность множеств А и В {х | x Î A Ù x B}
Ā = W \ А	Ā – событие, противоположное событию А	Ā = U \ А	Ā – дополнение множества А

Различные события и действия с ними удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Дж. Венна. Изобразим полную группу событий в виде прямоугольника, тогда круг внутри квадрата будет обозначать случайное событие А, а точка – элементарное событие w.

Объекты нашего изучения – случайные события – мы определили как множества. В табл. 1.5 для сравнения представлены термины и обозначения, применяемые в теории вероятностей и теории множеств, а также диаграммы Венна – графическая интерпретация действий с событиями и множествами.

Свойства операций над событиями представлены в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Свойство	Формула
Коммутативность	А + В = В +А А × В = А × В
Ассоциативность	(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (А × В) × С = А × (В × С) = А × В × С
Дистрибутивность	А × (В + С) = А × В + А × С А + (В × С) = (А + В) × (А + С)
Законы идемпотентности	А + А = А (А + А + … + А = А) А × А = А (А × А × … × А = А)
Закон снятия двойного отрицания
Законы де Моргана (принцип двойственности)
Законы поглощения	А + (В × А) = А А × (В + А) = А
Законы «нуля» (Æ) и «единицы» (W)	А + Æ = А А × Æ = Æ А + W = W А × W = А А + Ā = W А × Ā = Æ

Пример 1.1. Случайный эксперимент – трехкратное подбрасывание монеты.