Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 3 )

Сформулируем на языке событий два правила, которые применяются при комбинаторных подсчетах.

Правило суммы. Если событие А может осуществиться m способами, а независимое от него событие В – n способами, то событие «или А, или В», т. е. событие А + В может осуществиться k = m + n способами.

Пример 2.1. Шарики распределены по двум ящикам: в первом m шариков, во втором – k. Произвольно из какого-либо ящика вынимаем шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Из первого ящика шарик можно вынуть m разными способами, из второго – k разными способами. Всего способов: n = m + k.

Ответ: n = m + k.

Правило произведения (основное правило комбинаторики). Если событие А может осуществиться m способами, а независимое от него событие В – n способами, то событие «А и В», т. е. событие А × В, может осуществиться k = m × n способами.

Пример 2.2. а) Сколько двузначных чисел можно записать в десятичной системе счисления?

Число десятков

Поскольку число двузначное, число десятков может принимать одно из девяти значений 1, 2,…,9. Число единиц может принимать те же значения и может быть, кроме того, равным нулю. Всего получаем двузначных чисел 9 × 10 = 90 (рис. 2.1).

Ответ: 90.

б) Из города А до города В можно добраться автобусом, самолетом, теплоходом, поездом, из города В в город С – теплоходом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту А ® В ® С?

Рис.2.2

Очевидно, что число разных путей равно 4 × 2 = 8 (рис. 2.2).

Ответ: 8.

Замечание. Если требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, …, k-е – nk способами, то все k действий вместе можно выполнить n1 × n2 × …× nk способами.

Пример 2.3. В группе изучается 10 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник 6 уроков, причем все уроки разные.

Ответ: 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151 200.

Рассмотрим множество n элементов {a1, a2, …, an}, которое в комбинаторике принято называть генеральной совокупностью объема n.

Соединениями называют комбинации (наборы), составленные из элементов генеральной совокупности, которые отличаются друг от друга или элементами, или порядком элементов в комбинации. Соединение можно получать, выбирая, например, элементы. Выборкой длины r называют соединение из r элементов генеральной совокупности объемом n. Различают выборки:

·  упорядоченные (характеризуются и составом элементов, и последовательностью извлечения);

·  неупорядоченные (характеризуются только составом элементов).

Неупорядоченные выборки называются сочетаниями, упорядоченные – размещениями. Если длина упорядоченной выборки равна объему генеральной совокупности, тогда говорят о перестановках.

Способы получения выборок из генеральной совокупности могут быть двух видов:

·  выбор без возвращения элементов, в этом случае говорят о выборках без повторения (т. е. о выборках, которые не имеют одинаковых элементов);

·  выбор с возвращением элементов, тогда говорят о выборках с повторениями (т. е. о выборках, имеющих одинаковые элементы).

В таблице приведены формулы, по которым вычисляют число способов получения различных выборок.

Принятые обозначения:

Соединения, не содержащие одинаковых элементов: размещения – , перестановки – Рn, сочетания – .

Соединения, содержащие одинаковые элементы: размещения –, перестановки – Рn (n1, n2, …, nr), где n1, n2, …, nr – число одинаковых элементов первого, второго,…, r-го типа, сочетания – .

Приведем ситуации, в которых при подсчете общего числа исходов эксперимента и числа элементарных событий, благоприятствующих изучаемому событию, необходимо обратиться к сочетаниям.

Ситуация 1. Предположим, что r неразличимых частиц распределяются по n ячейкам (r £ n) при условии, что в каждой ячейке может находиться не более одной частицы.

Число различных размещений (элементарных исходов) совпадает с числом выбора r занятых ячеек из общего числа ячеек n, т. е. равно . Рассмотрим событие А – заняты k фиксированных ячеек (k £ r). Тогда оставшиеся n – k ячеек должны быть заполнены r – k частицами, а это можно сделать способами.

Ситуация 2. Предположим, что генеральная совокупность имеет
n = n1 + n2 +…+ nk различных элементов, причем из них n1 элементов первого типа, n2 – второго типа, …, nk – k-го типа. Случайным образом из этих n элементов выбирается m = m1 + m2 +…+ mk элементов, причем среди выбранных оказывается ровно m1 £ n1 элементов первого типа, m2 £ n2 – второго типа, … , mk £ nk – k-го типа (событие А). Поскольку порядок выбора несуществен, то при подсчете общего числа соединений из n элементов по m мы должны воспользоваться числом сочетаний . Далее, m1 частиц первого рода мы можем выбрать способами, m2 частиц второго рода – способами, …, mk частиц
k-го типа – способами. Число благоприятных событию А исходов равно× × … × (использовали основное правило комбинаторики – правило умножения).

Пример 2.4. а) Из колоды, содержащей 52 карты, наугад выбирают четыре. Число способов выбрать из 52 четыре карты –, а ×– число способов составить соединение, содержащее 1 туз.

б) У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них пять – первого вида, 4 – второго и 3 – третьего (12 = 5 + 4 + 3). Берут одновременно 6 деталей. Число способов составить соединение, содержащее 3 детали первого вида, 2 – второго и 1 – третьего, – ××.

Замечание. При подсчете числа сочетаний можно пользоваться свойствами сочетаний:

·  правило симметрии = ;

·  правило Паскаля = + .

Рассмотрим примеры, в которых используются все виды соединений, изученных нами.

Пример 2.5. (размещение без повторения – число способов составить упорядоченную выборку, не содержащую одинаковых элементов ).

1) Число телефонных номеров из 6 цифр, если все цифры различны, – = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151 200.

2) Число четырехбуквенных «слов», которые можно образовать из букв слова «around», – = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

3) Число «слов», которые можно записать, если карточки с буквами К, Ю, А, И, Г перетасовать, затем вынимать наугад и записывать в том порядке, в каком они были вынуты, – = Р5 = 5! = 120.