Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 7 )

Пример 4.1. Из 20 студентов 5 получили двойку на экзамене по истории, 4 – по английскому языку, причем 3 получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе: а) имеющих двойки, б) не имеющих двоек по этим предметам?

События: А = {двойка по истории}, Р(А) = 5/20 = 0,25;

В = {двойка по английскому языку}, Р(В) = 4/20 = 0,2

А × В = {двойка по обоим предметам}, Р(А × В) = 3/20.

а) По формуле (4.3) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В) = 4/20 +
+ 5/20 – 3/20 = 3/10.

б) Событие «не имеющих двойки» противоположно событию А + В, поэтому по формуле (4.2) имеем Р() = 1 – Р(А + В) =
= 1 – 0,3 = 0,7.

Ответ. а) 30 %, б) 70 %.

До сих пор, вычисляя вероятности события, мы не учитывали при этом никаких дополнительных условий. Такие вероятности называются безусловными. Однако во многих случаях необходимо определить вероятность события В при условии, что произошло событие А, имеющее ненулевую вероятность. При этом вероятность события В называется условной и обозначается Р(В/А) или иногда РА(В).

Понятие условной вероятности разъясним на примере. Пусть в урне находится n шаров, из них m белых, n – m черных. А – событие, состоящее в извлечении белого шара из урны. В – событие, состоящее в извлечении белого шара из той же урны после того, как из нее уже извлечен один шар. Рассмотрим два случая:

Первый	Второй
Первым извлекается белый шар, т. е. произошло событие А, тогда в урне останется m – 1 белый шар и n – 1 всего шаров, поэтому вероятность события В по формуле (3.3) будет равна .	Первым извлекается черный шар, т. е. произошло событие , тогда в урне останется m белых шаров и n – 1 всего шаров, поэтому вероятность события В по формуле (3.3) будет равна .

Следовательно, вероятность события В меняется в зависимости от того, происходит или не происходит событие А.

В случае классического определения условные вероятности определяются аналогично тому, как вычисляются безусловные вероятности. Пусть среди полной группы элементарных исходов n событию А благоприятствует k исходов, событию В – m исходов, событию А × В – l исходов (l £ m, l £ k). Найдем вероятность (условную) события В при условии, что событие А произошло, т. е Р(В/А). По определению
P(A) = k/n; Р(А × В) = l/n.

Если событие А произошло, то пространство элементарных исходов, в котором наступает событие В, сужается до подпространства элементарных событий, образующих событие А. Поэтому .

Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется число:

Р(В/А) = или Р(А/В) = . (4.4)

Условные вероятности удовлетворяют всем аксиомам вероятности. Следовательно, для условной вероятности верны все ранее доказанные теоремы.

Пример 4.2. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно, что 40 % работников фирмы – женщины, а 6,4 % работников – женщины, получающие высокую зарплату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Сформулируем условие задачи в терминах теории вероятностей. Для её решения необходимо ответить на вопрос: «чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, получающей высокую зарплату?», и сравнить её с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату. Обозначим события:

А – случайно выбранный работник имеет высокую зарплату,

В – случайно выбранный работник – женщина.

События А и В зависимы. По условию Р(А × В) = 0,064; Р(А) = 0,21; Р(В) = 0,4.

Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это – женщина, т. е. условная вероятность события А. По формуле (4.4) находим

Р(А/В)= .

Поскольку Р(А/В) = 0,16 меньше, чем Р(А) = 0,21, то можно утверждать, что женщины, работающие в фирме, имеют меньше шансов получить высокую зарплату по сравнению с мужчинами.

Теорема. Вероятность совместного осуществления событий А и В равна произведению вероятности одного (любого) из них на условную вероятность другого при условии, что выбранное событие произошло.

Р(А × В) = Р(А) Р(В/А) = Р(B) Р(A/B). (4.5)

Доказательство. Из определения условной вероятности (4.4) и равенства А × В = В × А имеем Р(А × В) = Р(А) Р(В/А), если Р(А) ¹ 0. Аналогично Р(А × В) = Р(В) Р(А/В), если Р(В) ¹ 0. Тем самым получаем формулу умножения вероятностей зависимых событий

Р(А × В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).

Замечание: Полученную формулу обобщим для трех событий А, В, С

Р(А × В × С) = Р((А × В) × С) = Р(А × В) Р(С/А × В) = Р(А) Р(В/А) Р(С/А × В). (4.5¢)

Пример 4.3. В строительной бригаде из 10 человек 5 рабочих имеют высший разряд. Наудачу по табельным номерам отобраны 2 рабочих. Найти вероятность того, что отобранные рабочие имеют высший разряд.

Событие А – {первым отобран рабочий высшего разряда},
Р(А) = 5/10, В – {вторым отобран рабочий также высшего разряда}, Р(В/А) = 4/9.

Искомая вероятность того, что отобраны 2 рабочих высшего разряда,

Р(А × В) = Р(А) Р(В/А) = .

Одно из важных понятий теории вероятностей – независимость событий. В психологии вопрос о зависимости различных характеристик исследуемого процесса возникает очень часто. Например, зависит ли оценка студента по математике от его пола? Зависит ли результат теста интеллекта подростка от его показателей по тесту исследовательской активности в детском возрасте?

Случайные события А и В назовем независимыми, если

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (4.6)

Для независимых событий из (4.5) следует, что Р(В/А) = Р(В). Независимость событий означает, что наступление события А не меняет вероятности появления события В, т. е. условная вероятность равна безусловной.

Пример 4.4. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события – независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы?

Обозначим события: А – {потребитель увидит рекламу по телевидению}, В = {потребитель увидит рекламу на стенд}.

События А и В – совместные и независимые. Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению, и на стенде), т. е. их произведения, воспользуемся формулой (4.6)

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,04 × 0,06 = 0,0024.

Множество событий назовем независимым в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любого числа сомножителей этого множества :

Р(А1 × А2 × … × Аn) = Р(А1)Р(А2) … Р(Аn). (4.6¢)

Рассмотрим задачу о том, как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из n независимых событий, которые могут появиться в результате некоторого испытания. Пусть А1, А2, … Аn –-независимые события, – противоположные им события, также независимые. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn . Так как события А и противоположны, то сумма их вероятностей равна единице: Р(А) + Р() = 1, следовательно,