Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 6 )

4)  Найдем число исходов, благоприятствующих событию D. Число способов, которыми можно выбрать один этаж, где будут выходить 3 пассажира, . Так как осталось семь этажей, то число способов, которыми можно выбрать, где будут выходить 2 пассажира, . Число способов, которыми можно выбрать трех пассажиров из пяти, выходящих на одном этаже, . Следовательно, благоприятствующих исходов m = . Пользуясь формулой (3.3), получаем: .

При изучении малых социальных групп иногда приходится проверять, не описываются ли взаимоотношения в группе случайной сетью. Случайной сетью называют следующую структуру: имеется N узлов, от каждого из которых отходят r связей, наугад прикрепляющихся к другим узлам, причем узел не может быть связан сам с собой и не имеет ни с каким другим узлом более одной связи.

Пример 3.12. В эксперименте каждому из 10 школьников, обучающихся в одном классе, предложили назвать имена 3 одноклассников, с которыми испытуемый больше всего хотел бы дружить. В результате один из мальчиков был назван в 9 анкетах. Разумно ли в такой ситуации считать, что отношения предпочтения в изучаемой группе образуют случайную сеть?

Событие А = {мальчик в 9 анкетах назван случайно}, тогда по формуле (3.3) , где n – число всевозможных способов составления анкет десятью школьниками. В любой из анкет можно назвать 3 человек, выбранных из 9. Число вариантов составления одной из анкет равно (число способов назвать одному школьнику 3 человек из 9), а десять школьников составят ()10 анкет. Посчитаем число возможных вариантов, благоприятствующих событию А. В одной анкете можно назвать данного мальчика способами (себя нельзя назвать, данный мальчик выбран, остается выбрать еще 2 из 8); в 9 анкетах число таких вариантов составляет ()9. Для десятой анкеты, составленной выбранным мальчиком, есть способов заполнения анкеты. Тогда вероятность события А:

.

Вывод: такое малое значение вероятности того, что мальчик 9 раз выбран случайно, позволяет практически невозможным считать отношения предпочтения в изучаемой группе случайной сетью.

IV. Вероятности случайного события

1. Вероятности на алгебре событий. 2. Теорема сложения вероятностей. 3. Условная вероятность. 4. Теорема умножения вероятностей. 5. Независимые события

Статистическое и классическое определения вероятностей обладают определенными недостатками, ограничивающими их применение. Статистическое определение вероятности не является строгим с точки зрения математики (здесь используются такие нематематические понятия, как опыт, появление события и т. п.). Классическое определение предусматривает только конечное точечное пространство равновозможных элементарных событий. Поэтому в настоящее время общепринято аксиоматическое построение теории вероятностей. Оно состоит в том, что с самого начала фиксируются первичные, не подлежащие определению понятия данной теории. Их основные свойства формулируются в виде ряда аксиом. Таким образом, теорию вероятностей, как и любую другую математическую науку, можно строить аксиоматическим методом. Аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частот. Пусть W – пространство элементарных событий, F – некоторая система случайных событий. Система F случайных событий называется алгеброй событий, если выполняются условия: 1) W Î F; 2) если A Î F, B Î F, то A × B Î F, A + B Î F, A\B Î F. Другими словами, F – алгебра событий, если вместе с любыми двумя событиями оно содержит их сумму, произведение и разность, а также множество W. Введем понятие вероятности события. Числовая функция Р(А), определенная на алгебре событий L, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы.

Аксиома 1. Каждому событию из L ставится в соответствие неотрицательное число Р(А) – его вероятность, т. е. Р(А) ³ 0 для любого A Î L.

Аксиома 2 (аксиома нормировки). Вероятность достоверного события равна единице: Р(W) = 1.

Аксиома 3 (аксиома аддитивности). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Перейдем к рассмотрению важного вопроса: как вычислять вероятности одних событий, если известны вероятности простых. Подчеркнем еще раз, что вероятности других событий определяются предварительно в классическом, геометрическом либо субъективном понимании. Единого алгоритма решения произвольной вероятностной задачи не существует. Рассмотрим два взаимодополняющих метода – применение формул («аналитический» метод) и применение дерева вероятностей («графический» метод).

Рассмотрим теоремы, которые позволят нам в дальнейшем выражать вероятности одного события через вероятности других, что является одной из типичных задач теории вероятностей.

Теорема. Если события А1, А2, … Аn образуют полную группу событий, то справедливо равенство

Р(А1 +А2 +…+ Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) = Р (W) = 1. (4.1)

Доказательство. Требуемые равенства прямо следуют из определения полной группы событий и аксиом 2, 3.

Теорема. Для случайного события А с известной вероятностью Р(А) вероятность противоположного события равна

Р() = 1 – Р(А). (4.2)

Доказательство. Для событий имеем = W, = Æ. Аксиомы 2, 3 позволяют записать

= Р(W) = 1 Þ Р(А) + Р() = 1 Þ Р() = 1 – Р(А) ·.

Следствие. Вероятность невозможного события равна нулю
(Р(Æ) = 0).

Доказательство. Пусть А = W, тогда

= Æ Þ Р( ) = 1 – Р(А) = 1 – Р(W) = 1 – 1 = 0 ·.

Теорема. Если А, В – совместные события (А × В¹Æ), то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А× В). (4.3)

Доказательство. Воспользуемся тождественными представлениями

А + В = А + W × В = А + (А +)В = А + А× В +× В = А +× В (т. к. А + А × В = А).

События А и × В несовместны, поэтому по аксиоме 3

Р(А + В) = Р(А +× В) = Р(А) + Р(× В). (*)

С другой стороны, В = W × В = (А + )В = А × В + × В. События А× В
и ×В несовместны поэтому аналогично (*) имеем

Р(В) = Р(А × В+ × В) = Р(А × В) + Р(× В) Þ Р(× В) = Р(В) – Р(А × В). (**)

Подставляя (**) в (*), получаем

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)·.