Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 4 )

4) Число способов распределить первую, вторую и третью премии на конкурсе, в котором участвуют 20 человек, – = 20 × 19 × 18 = = 6840.

Пример 2.6. (размещение с повторениями – число способов составить упорядоченную выборку, содержащую одинаковые элементы ).

1) Число телефонных номеров из 6 цифр, при условии, что любая цифра может повторяться, – = 106 = 1 000 000.

2) Число «слов», которые можно записать, если карточки с буквами К, Н, А, И, Г перетасовывают и вынимают по одной с последующим возвращением – = 55 = 3125.

3) Число способов 5 пассажирам лифта выйти на любом этаже девятиэтажного дома начиная со второго – = 85 = 32 768.

Пример 2.7. (перестановки без повторения – частный случай размещений без повторения Рn).

1) Для лечения заболевания применяют 5 лекарств. Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результаты лечения. Число различных порядков назначения этих лекарств – Р5 = 5! = 1× 2× 3× 4 ×5 = 120;

2) Менеджер ежедневно просматривает 6 печатных изданий экономического содержания. Если порядок просмотра случаен, то осуществить это можно Р6 = 1× 2× 3× 4 ×5 ×6 = 720 способами.

Пример 2.8 (перестановки с повторением – Pn (n1, n2, …, nr)).

1) Число «слов», которые можно составить из букв слов: «error» – Р5 (3) = = 20, «letters» – Р7 (2, 2) = = 1260;

2) Три типа бактерий культивируются в 9 пробирках. В трех пробирках содержатся бактерии первого типа, в четырех – второго типа и в двух – бактерии третьего типа. Сколькими различными способами можно расположить пробирки в ряд на штативе, если нам важно расположение лишь типов бактерий? Число различных перестановок –
Р9 (3, 4, 2) = = 1260;

Пример 2.9 (сочетание без повторения – число способов составить неупорядоченную выборку, которая не имеет одинаковых элементов).

1) Правление коммерческого банка из 10 кандидатов выбирает 3 сотрудников на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Число возможных групп по 3 человека, которые можно составить из 10 кандидатов, – = 120.

2) Комитет состоит из 12 членов. Минимальный кворум на заседаниях этого комитета – 8 человек.

·  минимальный кворум достигается = 495 способами.

·  какой-либо кворум достигается, если присутствуют 8, 9, 10, 11 или 12 человек. Число способов достижения кворума (используем правило сложения):

= 495 + 220 + 66 + 12 + 1 = 794.

3) У 6 мальчиков и 11 девочек в детском саду выявлены признаки инфекционного заболевания. Чтобы подтвердить диагноз, требуется провести выборочный анализ крови у 2 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами можно это сделать?

Существует = 15 способов выбора 2 мальчиков и = 55 способов выбора 2 девочек. Согласно правилу произведения существует 15×15 = = 825 способов выбора 2 мальчиков и 2 девочек.

Пример 2.10 (сочетание с повторениями – неупорядоченные выборки, содержащие одинаковые элементы , причем r может быть и больше n ).

1) В продажу поступили открытки 10 разных видов. Число способов организовать набор:

·  из 8 открыток = 12 310;

·  из 12 открыток = 293 930.

2) Число способов выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных – = 84.

Приведем пример, показывающий, как подсчитать число возможных исходов некоторого события с использованием графов.

Пример 2.11 [12]. Необходимо составить варианты контрольной работы, каждый из которых должен содержать три задачи. Первая задача выбирается из любого параграфа I главы сборника задач, вторая – из любого параграфа II главы, а последняя из любого параграфа III главы. При этом следует учесть, что I и III главы содержат два параграфа, а II глава – три параграфа. Сколько видов контрольной работы можно составить исходя из этих условий, если вид работы определяется только номерами параграфов, из которых выбраны задачи?

Пусть каждой задаче соответствует двузначное число, где первая цифра – номер выбранной главы, а вторая – номер параграфа.

Для подсчета количества видов контрольной работы воспользуемся граф-деревом. Начальную точку (корень) обозначим буквой О. Двигаясь всеми возможными путями по ребрам графа слева направо начиная с точки О, получим 12 вариантов контрольной работы (рис. 2.3).

Рис. 2.3

III. Вероятности случайного события

1. Статистический подход к вычислению вероятности события. 2. Классическое определение вероятности.

Понятие вероятности (меры возможности наступления случайного события) можно ввести разными способами, что отражает особенности пространства элементарных событий W, которое может быть конечным, счетным или несчетным множеством, а также характер самих элементарных событий.

Рассмотрим три подхода к понятию вероятности случайного события: статистический (частотный), классический и геометрический.

Статистическая вероятность. Пусть А – случайное событие в некотором эксперименте. Предположим, что проводится серия из n экспериментов, причем все они происходят в одинаковых условиях и результаты последующих не зависят от результатов предыдущих. Событие А в этой серии наступило nА раз. Тогда число

(3.1)

называется относительной частотой наступления события А в данной серии.

Отметим важные свойства величины :

1.  Если событие А достоверно, т. е. nA= n, то = 1.

2.  Если событие А невозможное, т. е. nA= 0, то = 0.

3.  0 £ £ 1.

Пример 3.1. Какова относительная частота:

а) рождения мальчиков, если среди 1000 новорожденных оказалось 550 мальчиков;

б) всхода семян, если для выявления качества семян было высеяно 100 штук, из которых 93 взошли;

в) простых чисел на отрезке от 1 до 20?

Ответ: а) 550/1000; б) 93/100; в) 9/20.

Пример 3.2. При стрельбе по мишени относительная частота попадания = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Þ nA = n , nA = 40 × 0,75 = 30.

При многократных бросаниях монеты подсчитывалось число появления герба и находилась относительная частота этого события. Результаты эксперимента приводятся в табл. 3.1

Таблица 3.1 

Серия	n	nA
1	4040	2048	0,5069
2	12 000	6019	0,5016
3	24 000	12 012	0,5005

Приведенные данные свидетельствуют о том, что относительные частоты появления герба при достаточно больших n мало отличаются.

Рис. 3.1

Отметим, что число может меняться от одной серии экспериментов к другой. Однако, как показывает опыт, при достаточно большом числе экспериментов n (n ® ¥) величина стабилизируется и приближается к некоторому числу Р(А), поэтому говорят, что событие А стохастически устойчиво, а число Р(А) называют статистической вероятностью события А: