Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 8 )

Р(А) = 1 – Р() = 1 – Р(.

Запишем формулу для нахождения вероятности наступления хотя бы одного события из n возможных

Р(А) = 1 – Р(. (4.7)

Пример 4.5. В условиях задачи 4.4 найти вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

Обозначим событие С = {потребитель увидит хотя бы одну рекламу}. Это означает, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. Воспользуемся правилом нахождения вероятности хотя бы одного события (4.7):

Р() = 1 – Р (А) = 1 – 0,04 = 0,96;

Р () = 1 – Р (В) = 1 – 0,06 = 0,94;

Р(С) = 1 – Р () Р() = 1 – 0,96 × 0,94 = 0,0976.

Пример 4.6. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,91. Страховая компания страхует на год жизни двух 60-летних людей. Найти вероятность того, что:

1) ни один не умрет; 2) оба умрут;

3) хотя бы один умрет; 4) умрет один.

Введем обозначения событий: А1 = {не умрет первый}, А2 = {не умрет второй}, тогда Р(А1) = Р(А2) = 0,91.

1)  Так как события А1 и А2 независимы (4.6) : Р(А1×А2) =
= Р(А1)×Р(А2) = 0,91×0,91 = 0,8281;

2)  Р() == (1 – Р(А1))(1 – Р(А2)) = (1 – 0,91)(1 – 0,91) = = 0,09 × 0,09 = 0,0081;

3)  По формуле (4.7) Р(«хотя бы один умрет») = 1 – Р(А1×А2) =
= 1 – 0,8281 = 0,1719;

4)  Р(«умрет один») = Р(А2) Р(А1) = 0,91 × 0,09 + + 0,91 × 0,09 = 0,1638.

Опишем «графический» метод который помогает вычислять вероятности интересующих нас событий. Основой этой схемы является так называемое дерево вероятностей.

Например, на рис. 4.1 представлен граф эксперимента – одновременное бросание двух монет, пространство исходов которого: Ω = {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ}. На ребрах графа записываем значения вероятностей, с которыми наступают рассматриваемые события. На рис. 4.2 показано дерево вероятностей эксперимента – бросание игральной кости, исходы: выпадение «6» и «невыпадение 6»

Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3 Рис. 4.4

При построении деревьев вероятностей применяют следующие правила:

1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута (рис. 4.3);

2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются (рис. 4.4).

Покажем на примерах, как, пользуясь деревом вероятностей, можно решать задачи.

Пример 4.7. Два спортсмена стреляют по мишени, причем каждый делает ровно по одну выстрелу. Вероятность того, что первый спортсмен поразит мишень, равна 0,9, а вероятность того, что мишень поразит второй спортсмен, равна 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена (хотя бы одним выстрелом)?

Обозначим «+» – событие – {спортсмен поразил мишень}; «–» – событие – {спортсмен промахнулся}.

а б в

Рис. 4.5

Рассмотрим рис. 4.5, на котором показано, как именно могут разворачиваться события. Вероятность того, что промахнуться оба спортсмена, равна 0,1∙0,2 = 0,02 (рис. 4.5, а). Интересующее нас событие противоположно упомянутому выше. Поэтому его вероятность равна 1 – 0,02 = 0,98.

Пользуясь построенным деревом, мы можем вычислить и вероятность того, что обе пули попали в цель – 0,9 ∙ 0,8 = 0,72 (рис. 4.5, б), и вероятность того, что в мишени оказалась ровно одна пробоина – 0,9 ∙ 0,2+0,1 ∙ 0,8 = 0,26 (рис. 4.5, в)

Пример 4.8. Пример 4.6 решить «графически».

Пример 4.9. В урне 10 шаров, 3 из которых черные, а остальные белые. Из урны последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будут шары белого цвета?

На рис. 4.6 построено дерево вероятностей, на ребрах которого указаны вероятности появления шара того или иного цвета как при первом, так и при втором извлечениях.

a б

Рис. 4.6

Соответствующая вероятность равна (рис. 4.6, а).

Вероятность того, что шары будут разных цветов, равна (рис. 4.6, б).

Последовательность действий при решении задач можно представить в виде алгоритма:

Алгоритм 2

Вычисление вероятности сложного события, составленного
из элементарных событий, вероятности которых известны

Шаг 1:

Ÿ  ввести обозначения для события, вероятностью наступления, которого мы интересуемся А (В, С, …),

Ÿ  выписать вероятности событий, которые заданы явно (если доля задана в процентах – заданные проценты поделить на 100).

Шаг 2. Вычислить вероятности, которые заданы в неявном виде:

Ÿ  если задано общее число исходов n и число исходов m благоприятных событию (А), то используем классическое определение вероятности(3.3)

Ÿ  если возможные исходы можно изобразить геометрической фигурой (число исходов бесконечно), то используем понятие геометрической вероятности и находим ее по формуле (3.4)

Шаг 3. Для вычисления вероятности сложного события (С):

·  выписать формулу связи этого события с теми событиями, вероятности которых известны (А, В, …),

·  воспользоваться формулами

С = Þ Р(С) = 1 – Р(А);

С = А + В Þ Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),

где

Р(А× В) = Р(А) Р(В), если события независимы;

Р(А× В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В), если события зависимы.

Пример 4.10. Студент пришел на экзамен, зная 25 из 30 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать на билет ему предоставляется возможность вытянуть еще один?

Строим дерево вероятностей (рис. 4.7). Вероятность благоприятного исхода складывается из вероятностей двух несовместных событий – «студент вытащил счастливый билет с первой попытки» и «студент вытащил счастливый билет со второй попытки» .

Пример 4.11. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,4, 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется: а) одно попадание в мишень; б) хотя бы одно попадание.

Используем алгоритм 2.

Шаг 1. Вводим обозначения.

А1 = {стрелок попал при первом выстрел}, Р(А1) = 0,4;

А2 = {стрелок попал при втором выстреле}, Р(А2) = 0,5;

А3 = {стрелок попал при третьем выстреле}, Р(А3) = 0,7,

В = {одно попадание стрелка в мишень};

С = {хотя бы одно попадание стрелка в мишень}.

Найти Р(В) и Р(С).

Шаг 3. В = ;

Р(В) = =

= 0,4×0,5×0,3 + 0,6×0,5×0,3 + 0,6×0,5×0,7 = 0,36; ;

Р(С) = 1 – Р () =1 – Р() = 1 – =
= 1 – 0,60,50,3 = 0,91.

Ответ: Р(В) = 0,36; Р(С) = 0,91