Случайный эксперимент. Случайные события (стр. 5 )

. (3.2)

Свойство устойчивости частот – одна из фундаментальных закономерностей теории вероятностей. На рис. 3.1 показаны результаты трех экспериментов с монетой (по 1000 бросаний в каждой серии).

Покажем на примере, как можно использовать свойство устойчивости частот.

Пример 3.3. Как приближенно установить число рыб в озере?

Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в царство Нептуна. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим, находим в ней m рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А – «пойманная рыба мечена». Тогда по формуле (3.1) . Но если в озере х рыб и мы выпустили в него n меченых, то согласно (3.3) . Так как .

Классическая вероятность (модель Лапласа). Рассмотрим эксперимент, пространство событий которого конечно W = {w1 , w2 ,…wn} и образует полную группу попарно несовместных, равновозможных событий (под равновозможными понимают события, имеющие одинаковые условия для появления, поэтому нет основания утверждать, что у какого либо из них появиться в результате опыта больше шансов, чем у другого). Классической вероятностью случайного события А называется число

, (3.3)

где n – число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента; m – число исходов эксперимента, благоприятствующих появлению события А.

Из определения вероятности следуют ее простейшие свойства:

1.  Вероятность достоверного события равна единице: Р(W) = 1;

2.  Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ) = 0;

3.  Вероятность случайного события 0 < P(A) < 1.

Замечание. При статистическом подходе мы определяем вероятность по результатам опыта, это апостериорная (послеопытная ) вероятность, тогда классическая вероятность – априорная, поскольку определяется теоретически (по формуле).

Для вычисления классической вероятности можно использовать алгоритм 1.

Алгоритм 1

Вычисление классической вероятности

Шаг 1. Ввести обозначения:

· события, вероятностью наступления, которого мы интересуемся
А (В, С, …);

· заданных величин.

Шаг 2. Выяснить, что представляет собой элементарный исход эксперимента.

Шаг 3. Убедиться в том, что

· число элементарных исходов конечно;

· все исходы равновозможны и попарно несовместны.

Шаг 4. Вычислить:

n – число всех элементарных исходов эксперимента;

m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А (В, С, …).

Шаг 5. Вычислить искомую вероятность по формуле .

Замечание. При подсчете чисел n и m используются формулы комбинаторика или графы.

Пример 3.4. При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, надо составить команду, состоящую из командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата к1, к2, к3; на место инженера – четыре и1, и2, и3, и4, на место врача – два кандидата – в1, в2. Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира к2 с инженерами и3, и4, и с врачом в2, а инженера и2 с врачом в2. Какова вероятность события «составлен экипаж, все члены психологически совместимы друг с другом? »

Будем считать, что без учета фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны, причем число этих вариантов конечно и они составляют полную группу несовместных событий. Поэтому .

Представим в виде дерева (рис. 3.2) все варианты состава.

Рис. 3.2

Число всех ветвей этого графа, т. е. число всех исходов, равно n =24. Выделенные ветви графа (члены экипажа совместимы друг с другом) соответствуют числу исходов, благоприятствующих событию А, поэтому m =16, следовательно, Р(А) = 16/24 = 2/3.

Ответ: Р(А) = 2/3.

Пример 3.5. В партии готовой продукции среди 20 ламп 5 – повышенного качества. Наудачу отбирается 7 ламп. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 лампы повышенного качества (рис. 3.3).

Выбрать 7 ламп из 20 можно n = способами. Для подсчета благоприятных исходов воспользуемся рассмотренной в занятии 2 схемой, описанной в ситуации 2. Мы выбираем семь ламп, из них три лампы должны быть повышенного качества, их можно выбрать способами, а остальные четыре лампы выбираются из 15 (т. к 20 –5 =15). Это можно сделать способами.

По правилу умножения m =.

Тогда по формуле (3.3) имеем

.

Ответ: Р(А) = 0,176.

Пример 3.6. Участник лотереи «Спортлото» из 49 наименований спорта называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько он угадал наименований из шести, которые определяются в момент розыгрыша лотереи. С какой вероятностью участник угадает: 1) три цифры из шести; 2) не менее четырех цифр; 3) шесть из шести?

1)  n = , m = , .

2)  Р(А) = Р(4) + Р(5) + Р(6),

Число; ;

;

Тогда Р(А) = 0,00097 + 0,00002 + 0,00000007 » 0,001.

Пример 3.7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отбирают 7 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажутся 3 женщины?

Ответ: Р(А) = 0,5.

Пример 3.8. Четырехтомное собрание сочинений расположено в случайном порядке. Чему равна вероятность того, что тома стоят в должном порядке слева направо или справа налево?

Всего возможных исходов n = 4!. Благоприятных m =2 (1, 2, 3, 4 или 4, 3, 2, 1).

Тогда по формуле (3.3) имеем .

Ответ: Р(А) = 0,0833.

Пример 3.9. На восьми карточках написаны цифры 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

Число возможных исходов n = . Благоприятных m =
(отбрасываем карточки с цифрами 7, 11, 13, останется 5, из них 2 можно выбрать способами). Тогда по формуле (3.3) имеем .

Ответ: Р(А) = 0,3572.

Пример 3.10. Среди 12 приборов 5 – повышенной точности. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 прибора – повышенной точности.

Ответ: Р(А) = 0,152.

Пример 3.11. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей начиная со второго. Найти вероятность того, что:

1) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже (событие А);

2) все пассажиры выйдут на шестом этаже (событие В);

3) все пассажиры выйдут на разных этажах (событие L);

4) на одном выйдут 3 пассажира, а на другом – 2 (событие D).

Всего возможных исходов n = 85 .

1)  Благоприятствующим событию А исходам соответствует число способов, которыми можно выбрать один этаж m = = 8, по формуле (3.3) Р(А) =.

2)  Благоприятствующим событию В исходам соответствует
m = 1, Р(В) = = 0,00003.

3)  Исходам, благоприятствующим событию L, соответствует число способов, которыми можно выбрать из восьми этажей пять (все пассажиры выходят на разных этажах) m =, P(L) == 0,205.