Теория струн и скрытые измерения Вселенной Table of Contents (стр. 49 )

«в математике действительно нет понятия физической теории, связанной с многообразиями X и

X'. Концевич же попытался придать этому утверждению математическую строгость», представив

ее в виде, не привязанном к физическим понятиям. [120]

Пожалуй, наиболее простым способом описания гомологической зеркальной симметрии

является описание в терминах D-бран, хотя идея Концевича опередила их открытие на год или

два. Физики представляют себе D-браны как подповерхности, к которым должны крепиться

концы открытых струн. Теория гомологической зеркальной симметрии предсказывала

существование D-бран, давая весьма детальное описание этих объектов, ставших одними из

важнейших составляющих теории струн, точнее, М-теории, после второй струнной революции.

В общем, это знакомая история, когда физическое открытие, в данном случае — зеркальная

симметрия, дает толчок развитию математики, а математика, в свою очередь, сполна

рассчитывается перед физикой.

Одной из главных идей, лежащих в основе гомологической зеркальной симметрии, является

идея существовании двух различных типов D-бран — А-бран и В-бран. Эти термины введены

Виттеном. Для зеркальной пары многообразий Калаби-Яу X и X' А-брана на многообразии X

будет совпадать с В-браной на многообразии X'. Это краткое определение, по словам

Эспинволла, «дало возможность математикам строго сформулировать понятие зеркальной

симметрии. Из этой формулировки уже можно было получить все остальное»[121].

Как говорит Майкл Дуглас, физик из Университета Стоуни-Брук, «представьте, что у вас

есть два конструктора, детали которых имеют различную форму. Однако набор моделей, которые

вы можете из них собрать, один и тот же»[122]. Это полностью аналогично соответствию между

А-бранами и В-бранами, заявленному в теории гомологической зеркальной симметрии.

А-браны представляют собой объекты, описываемые в рамках так называемой

симплектической геометрии, тогда как В-браны являются предметом исследования

алгебраической геометрии. Мы уже слегка касались алгебраической геометрии, говоря о том, что она позволяет описывать геометрические кривые в алгебраических терминах и решать

геометрические задачи при помощи алгебраических уравнений. Симплектическая геометрия

содержит ключевое для многообразий Калаби-Яу (и не только для них) понятие кэлеровой

геометрии. В то время как пространства в дифференциальной геометрии обычно описываются

симметричным относительно диагонали метрическим тензором, в симплектической геометрии

метрика симметричной не является — при переходе через диагональ знаки изменяются.

«Эти две области геометрии рассматривались как совершенно отдельные, поэтому стало

большой неожиданностью, когда обнаружилось, что алгебраическая геометрия одного

пространства эквивалентна симплектической геометрии другого, — говорит Эспинволл. —

Соединение двух различных областей, установление того, что они в определенном смысле

связаны через понятие зеркальной симметрии, можно считать одним из крупнейших событий в

математике, потому что теперь методы, разработанные для одной области, можно применять и в

другой. Обычно это в буквальном смысле устраняет все препятствия на пути, в конце которого

вас ждет медаль Филдса».[123]

В настоящее время теория гомологической зеркальной симметрии установила тесную связь

с другими областями математики, в том числе и с гипотезой SYZ. На сегодняшний день, однако,

не существует «строгой математической эквивалентности между двумя теориями, [но] они

поддерживают друг друга, — утверждает Гросс. — И, если они обе верны, мы рано или поздно

обнаружим их эквивалентность на определенном уровне»[124].

Эта история еще не закончена. Мы до сих пор пытаемся выяснить, что же представляет

собой зеркальная симметрия, с помощью наших исследований гипотезы SYZ, гомологической

зеркальной симметрии и других подходов. Введение зеркальной симметрии привело к созданию

новых направлений в математике, уже не имеющих ничего общего с самой зеркальной

симметрией, и никто точно не знает, как далеко заведут нас эти исследования и где они в

конечном итоге закончатся. Однако мы точно знаем, с чего они начались, — с открытия

необычного свойства компактных кэлеровых многообразий, носящих название многообразий

Калаби-Яу, — пространств, на которых более двух десятилетий назад был практически

поставлен крест.

Восьмая глава

Петли в пространстве-времени

Зигмунд Фрейд считал, что, для того чтобы понять природу человеческого разума,

необходимо изучать людей, чье поведение не укладывается в общепринятые нормы, то есть

является аномальным, — людей, одержимых странными, навязчивыми идеями: например, в

число его знаменитых пациентов входили «человек-крыса» (у которого были сумасшедшие

фантазии, в которых дорогих ему людей привязывают ягодицами к горшку с крысами) и

«человек-волк» (который часто видел сон, как его заживо съедают белые волки, сидящие на

дереве перед окном его спальни). Фрейд считал, что больше всего мы узнаем о типичном

поведении, изучая самые необычные, патологические случаи. С помощью таких исследований, по его словам, мы могли бы в конечном итоге прийти к пониманию как норм, так и отклонений

от них.

Мы часто применяем аналогичный подход в математике и физике. «Мы ищем области

пространства, в которых не работают классические описания, поскольку именно в этих

областях, мы открываем что-то новое», — поясняет гарвардский астрофизик Ави Лёб.

Рассуждаем ли мы об абстрактном пространстве в геометрии или о более материальном

пространстве, которое мы называем Вселенной, области «где что-то ужасное происходит с

пространством, где вещи разрушаются», как говорит Лёб, и являются теми областями, которые

мы называем сингулярностями.[125]

Вопреки тому, что вы могли бы подумать о сингулярностях, они широко распространены в

природе. Они вокруг нас: капля воды, отрывающаяся и падающая из неисправного

водопроводного крана, — самый распространенный пример (часто наблюдающийся в моем

доме), место (хорошо известное серфингистам), где океанские волны разрываются и дробятся, сгибы в газете (которые показывают, является статья важной или просто «водой») или места

скруток на воздушном шарике, свернутом в виде французского пуделя. «Без сингулярностей вы

не можете говорить о формах», — замечает геометр Хэйсукэ Хиронака, заслуженный профессор

Гарвардского университета. Он приводит в качестве примера собственную подпись: «Если здесь

нет пересекающихся линий, острых углов, то это просто каракули. Сингулярность представляла

бы собой пересекающиеся или внезапно меняющие направление линии. В мире можно

встретить много подобных вещей, и они делают мир интереснее».[126]

В физике и космологии два вида сингулярностей стоят особняком среди прочих

бесчисленных возможностей. Один вид — это сингулярность во времени, известная как

Большой взрыв. Я как геометр не знаю, как представить себе Большой взрыв, потому что никто,

включая физиков, в действительности не знает, что это такое. , создатель

концепции космической инфляции, понятия, которое, по его словам, «помещает взрыв в

Большой взрыв», допускает, что термин Большой взрыв всегда страдал от неопределенности, вероятно, потому, что «мы до сих пор не знаем (и, может быть, никогда не узнаем), что в

действительности произошло».[127] Я полагаю, что в этом случае скромность нам не помешает.

И хотя мы довольно невежественны, когда дело доходит до применения геометрии к

точному моменту рождения Вселенной, мы, геометры, достигли некоторых успехов в борьбе с

черными дырами. Черная дыра — это, по существу, участок пространства, сжатый в точку под

действием силы тяжести. Вся эта масса, упакованная в крошечном пространстве, образует

сверхплотный объект, вторая космическая скорость (мера его гравитационного притяжения) возле которого превышает скорость света, что приводит к захвату любой материи, включая свет.

Несмотря на то что существование черных дыр вытекает из общей теории относительности

Эйнштейна, черные дыры все еще остаются странными объектами, и сам Эйнштейн отрицал их

существование до 1930 года, то есть спустя 15 лет после того, как немецкий физик Карл

Шварцшильд представил их в виде решений знаменитых уравнений Эйнштейна. Шварцшильд не

верил в физическую реальность черных дыр, но сегодня существование таких объектов является

общепризнанным фактом. «В настоящее время черные дыры открывают с удивительным

постоянством каждый раз, когда кому-нибудь из НАСА понадобится очередной грант», —

заявляет Эндрю Строминджер. [128]

Рис. 8.1. Считается, что на расстоянии в двенадцать миллионов световых лет в центре

спиральной галактики М81 находится супермассивная черная дыра, которая примерно в

семьдесят миллионов раз тяжелее нашего Солнца (фото любезно предоставлено НАСА)

И хотя астрономы обнаружили большое число кандидатов в черные дыры и накопили массу

наблюдательных данных, подтверждающих этот тезис, черные дыры все еще окутаны тайной.

Общая теория относительности дает совершенное и адекватное описание больших черных

дыр, но картина рушится, когда мы двигаемся к центру вихря и рассматриваем исчезающе малую

сингулярную точку бесконечной кривизны. Общая теория относительности не может бороться с

крошечными черными дырами, размер которых меньше пылинки, — здесь вступает в игру

квантовая механика. Неадекватность общей теории относительности становится явно очевидной

в случае таких миниатюрных черных дыр, когда массы являются огромными, расстояния —

крошечными, а кривизна пространства-времени не поддается изображению. В этом случае

выручает теория струн и пространства Калаби-Яу, которые приветствуются физиками с момента

создания теории, в частности потому, что они могут разрешить конфликт между приверженцами

общей теории относительности и сторонниками квантовой механики.

Один из самых горячих споров между сторонниками этих выдающихся разделов физики

вращается вокруг вопроса о разрушении информации черной дырой. В 1997 году Стивен Хокинг