Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 2 )

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Положим, Тогда и

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Подстановка дает и

Пример 6. Найти интеграл

Решение. Берем подстановку Тогда и

Пример 7. Найти интеграл

Решение. Полагая получим и

2.2 Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:

Для применения этой формулы к некоторому интегралу следует подинтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей и За в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается (например: ). За всегда выбирается такое выражение, содержащее dx, из которого, посредствам интегрирования, можно найти

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Положив найдем: По формуле интегрирования по частям имеем

Пример 9. Найти интеграл

Решение. Пусть Тогда Подставляя это в формулу интегрирования по частям, найдем

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Положим тогда

Имеем

К последнему интегралу вновь применяем формулу интегрирования по частям. Пусть тогда

Окончательно получим

2.3. Интегрирование простейших дробей

1. Пусть тогда

Дробь называется простейшей дробью первого типа.

2. Пусть где целое число, причем , тогда

Дробь называется простейшей дробью второго типа.

3. Пусть причем квадратный трехчлен имеет комплексные корни, т. е.

тогда

Дробь называется простейшей дробью третьего типа.

4. Интегрирование простейшей дроби четвертого типа где

- целое число, мы рассматривать не будем.

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция

является простейшей дробью третьего типа.

2.4. Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод сводится к задаче приведения интеграла от рациональной дроби где и - многочлены степеней и к сумме интегралов от простейших дробей.

Для вычисления интеграла от рациональной дроби необходимо:

а) привести эту дробь к правильной дроби, т. е.

б) преобразовать знаменатель к произведению простейших многочленов, т. е.

где - корень кратности .

в) записать правильную дробь в виде суммы простейших дробей, т. е.

где - неопределенные коэффициенты;

г) привести простейшие дроби к общему знаменателю. Составить систему линейных алгебраических уравнений, решив которую, найти неопределенные коэффициенты;

д) окончательный ответ получится после вычисления интегралов от