Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 3 )

многочлена и простейших дробей:

Пример 12. Найти интеграл

Решение. а) подынтегральная функция является правильной дробью;

б) Знаменатель этой дроби разложим на простейшие множители

в) Напишем разложение заданной дроби на простейшие дроби

г) приведем дроби в правой части последнего равенства к общему знаменателю

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях, получим систему уравнений:

Оттуда получим:

д) Таким образом,

и данный интеграл найдется так:

Пример 13. Найти интеграл

Решение. а) Подынтегральную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:

2x5+6х3+1 х4+3х2

2х5+6х3 2х

1

имеем

б)

в)

г)

откуда

д)

2.5 Интегрирование выражений, содержащих иррациональности

1. Пример 14. Вычислить интеграл

Решение. Вынесем в подкоренном выражении за скобку 2 и выделим полный квадрат, получим:

==

2. В интеграле, вида

избавиться от иррациональности поможет замена переменной, ,

где м=НОК (), т. е. m-наименьшее общее кратное чисел

Пример 15. Найти интеграл .

Решение. НОК(2; 3)=6. Значит, сделаем замену, , тогда, =, . Получим

3. В следующих интегралах, содержащих квадратные корни, от иррациональности можно избавиться с помощью соответствующих тригонометрических подстановок :

- замена х=a sin t;

- замена x=a tg t;

- замена

Пример 16. Найти интеграл

Решение. Применим подстановку . Тогда , и

.

2.6. Интегрирование тригонометрических выражений.

Рассмотрим интегралы вида , рационально зависящие от тригонометрических функций.

1.  Универсальная тригонометрическая подстановка .При такой подстановке

.

Пример 17. Найти интеграл .

Решение. Применяем универсальную тригонометрическую подстановку, получим

Пример 17. Найти интеграл .

Решение. Применяя универсальную подстановку , получим

.

2.  Если подынтегральная функция нечётная относительно синуса, т. е.

R(-sinx, cosx)=-R(sinx, cosx), то применима подстановка cosx=t.

Пример 18. Найти интеграл .

Решение. Так как = , то применима подстановка cos x=t: - sin x dx=dt, и

.

3.  Если функция R(sinx; cosx) нечётная относительно косинуса, т. е

R(sinx; - cosx)=-R(sinx; cosx), то применима подстановка sinx = t.

4.  Если функция R(sinx; cosx) чётная относительно синуса и косинуса, то применима подстановка tg x=t.

Пример 19. Найти интеграл .

Решение. Так как подынтегральная функция чётная относительно синуса и косинуса, применим подстановку tgx = t, . Имеем:

.

5.  Интегралы вида вычисляются с помощью подстановок: