Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 4 )

а) sinx=t при n-нечётном;

б) cosx=t при m-нечётном;

в) с помощью формул понижения степени.

; , если m и n чётные числа.

Пример 20. Найти интеграл: .

Решение. Так как m – нечётное число, равное 3, то применим подстановку

cos x=t; тогда –sin x dx=dt. Получим:

.

Рис. 1.

3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1. Определение определённого интеграла.

Рассмотрим на плоскости область D, ограниченную линиями y=f(x), x=a, x=b, y=0 (рис. 1).

Отрезок разобьём па n отрезков , длиной , где i=0;1;2;…n, x0=a; xn=b. Площадь прямоугольника , где . Сумма площадей прямоугольников имеет вид и называется интегральной суммой.

При интегральные суммы стремятся к площади криволинейной трапеции D:

.

Определение 3. Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при стремлении максимальной длины отрезка разбиения к нулю.

При этом число называется нижним пределом интегрирования, число -верхним пределом интегрирования.

3.2. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема 3. без доказательства). Пусть функция непрерывна и имеет непрерывную первообразную на отрезке , тогда определённый интеграл находится по формуле

.

Пример 21. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Получим

.

Пример 22. Найти .

Решение.

.

Замечание. В результате вычисления определённого интеграла получается число!

3.3. Свойства определённого интеграла.

1. , где .

2. .

3. .

3.4. Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна на , а - дифференцируема на отрезке , причём ; , тогда

.

Пример 21. Найти .

Решение. Обозначим , тогда . При , при , . Согласно теореме 4 имеем

.

Пример 22. Найти .

Решение. Данный интеграл можно вычислить с помощью подстановки , тогда ; если , то ; если , то . Имеем

.

3.5. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Имеет место формула

.

Пример 23 . Вычислить .

Решение. Примем u=lnx ; dv =dx. Откуда dn= ; V=X. Имеем

--

Пример 24. Найти .

x=u ;=dv. Tогда

dx=du ; v= Откуда

=-xctg. +ln

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛА.

4.1. Площадь криволинейной трапеции.

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x); y=0; x=a; x=b (рис.2).

Рис. 2.

S=.

Площадь плоской фигуры ,ограниченной линиями у=f1(x);

У=f2(x); x=a; x=в (Рис.3). Находится по формуле:

S= dx.

Рис. 3

Пример 25. Найти площадь, ограниченную линиями у=-x и у=2x-x2.

Решение. Уравнение у=-x описывает на плоскости прямую — биссектрису двойного и четвертого координатных углов. Уравнение у=2х-х2 есть уравнение параболы с вершиной в точке (1:1), проходящей через начало координат и точку (2:0), ветви которой направлены вниз. Решив систему , найдем точки пересечения заданных линий: М1(0;0) и М2(3;-3). Искомая площадь изображена на рис.4.