Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 5 )

Рис. 4

S= dx = dx= (кв. ед.)

4.2. Объем тела вращения.

Объем тела вращения, ограниченного плоскостями х=а; x=в и поверхностью, образованной вращением кривой у=f(x) вокруг оси ОX, находится по формуле.

V = 2 (x) dx.

Пример 26. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX одной полуволной синусоиды y= sin(x) ( 0 x.

Решение. Как видно из рисунка 5, объём тела равен сумме объёмов V1 и V2 .

Рис. 5

Так как V1=V2 , найдём V1 и V= 2*V1.

V1=sin2x dx = dx = = ( куб. ед. ).

Значит, V= 2* (куб. ед.).

5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

5.1. Определение несобственного интеграла

Интеграл называется несобственным, если он имеет бесконечные пределы интегрирования, либо подынтегральная функция является разрывной внутри

отрезка интегрирования или на одном из его концов.

Несобственный интеграл существует, если существует предел этого

интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно

удалённой точке. В этом случае интеграл называется сходящимся.

В противном случае интеграл не существует и называется расходящимся.

5.2. Несобственный интеграл первого рода

Несобственным интегралом первого рода назовём интегралом с бесконечным (бесконечными) пределом (пределами) интегрирования.

;

;

.

Пример 27. Найти .

Решение. Данный интеграл является несобственным интегралом первого ряда с бесконечным верхним пределом.

.

24

Пример 28. Найти .

Решение.

= - (-) +.

5.3. Несобственный интеграл второго рода

Интеграл называется несобственным интегралом второго рода, если функция f(x) имеет разрыв в точке x = c, принадлежащей отрезку , и непрерывна во всех других точках этого отрезка.

.

Пример 29. Найти интеграл .

Решение. Данный интеграл является несобственным второго рода , т. к. ,

= - ln = .

Следовательно, является расходящимся.

Пример 30. Найти .

Решение. Подынтегральная функция непрерывна при 0< 1 и имеет бесконечный разрыв в точке x=1 .

=

Пример 31. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке x=1, лежащей внутри отрезка , и непрерывна во всех других точках этого отрезка.

,

.

Значит, данный интеграл расходится.