Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ростовский государственный университет

путей сообщения

, ,

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Методические указания к выполнению

типового расчёта

Ростов – на – Дону

2001

УДК 513.5

Интегральное исчисление функций одной переменной:

Методические указания / , ,

; Рост. гос. ун-т путей сообщения. Ростов

н/Д, 2001. 26 с.

Кратко изложены основы понятия интегрального исчисления функций одной переменной. Приведены наиболее часто встречающиеся методы интегрирования, таблица интегралов. Рассмотрены типовые примеры приложений интегрального исчисления в геометрии и механике.

Настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей как вспомогательное пособие при выполнении типового расчёта по теме «Интегрирование».

Ил. 5

Рецензент: д-р техн. наук, проф. (РГУПС)

Ростовский государственный университет путей сообщения, 2001

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Методические указания к выполнению типового расчета

Редактор

Корректор

Подписано к печати 31.11.2001г. Формат 60x84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,63.

Уч.-изд. л 1,55.Тираж 60. Изд. № 000. Заказ № 000.

Цена договорная.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Лицензия ЛР г.

Ризография РГУПС. Лицензия ПЛД г.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского стрелкового полка народного ополчения, 2.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Неопределенный интеграл

1.1. Определение и свойства неопределенного интеграла

1.2. Таблица основных интегралов

2. Методы интегрирования

2.1. Замена переменной интегрирования

2.2. Интегрирование по частям

2.3. Интегрирование простейших дробей

2.4. Метод неопределенных коэффициентов

2.5. Интегрирование выражений содержащих иррациональности

2.6. Интегрирование тригонометрических выражений

3. Определенный интеграл

3.1. Определение определенного интеграла

3.2. Формула Ньютона-Лейбница

3.3. Свойства определенного интеграла

3.4. Замена переменой в определенном интеграле

3.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле

4. Геометрические приложения определенных интегралов

4.1. Площадь криволинейной трапеции

4.2. Объем тела вращения

5. Несобственные интегралы

5.1. Определение несобственного интеграла

5.2. Несобственный интеграл 1-го рода

5.3. Несобственный интеграл 2-го рода

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Определение неопределенного интеграла

Определение1. Пусть в некоторой области определены функции: и и пусть тогда функция называется первообразной для функции

Теорема 1. Если - первообразная то и где = const, также первообразная функции

Доказательство. Так как =const, то а, следовательно, А, значит, по определению 1 -первообразная

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции называется совокупность ее первообразных:

если и = const,

где - переменная интегрирования, а - подынтегральная функция.

Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3. где = const;

4.

1.2. Таблица основных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

В формулах 14, 16, 18 и 19 использовалась следующая теорема.

Теорема 2. Если то

a)

б)

в)

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся формулой из школьного курса тригонометрии, Учитывая свойства неопределенного интеграла и теорему 2, получим:

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.1. Замена переменой интегрирования

Пусть требуется найти который не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Если, выполнив подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную, мы получим, что и причем, обозначив увидим, что может быть преобразован к табличному, то замена поможет нам найти