Рис. 2
По критерию Гурвица разомкнутая система устойчива: 
.
Замкнутая система тоже устойчива: 
.
Размыкаем обратную связь (ОС) и запускаем модель на счет. Затем замыкаем ОС и считаем. Результаты расчета для разомкнутой системы показаны на рис. 3. Для замкнутой – на рис. 4.
Рис. 3 Рис. 4
Найдем корни характеристического полинома разомкнутой и замкнутой системы.
Для этого, нажав на клавишу «Анализ», в выпадающем меню выбираем «Передаточные функции». В появившейся заставке (рис. 5) нажимаем на красную стрелку, направленную справа налево. В результате активируется строка № 1, которую заполняем, как показано на рис. 5.
Нажимаем кнопку «Расчет». Появляется заставка с результатом расчета – рис. 6.
В таблице «Передаточные функции» рис. 6 располагаются в колонке «Знаменатель» коэффициенты характеристического полинома, нормированные к 
. В результате такого нормирования получен коэффициент усиления передаточной функции 
, который показан в колонке «
».
Рис. 5 Рис. 6
В таблице «Полюсы и нули» содержатся корни характеристического полинома. В данном случае имеем:
– для разомкнутой системы:
.
– для замкнутой системы:
.
Полученные результаты согласуются с временными графиками процесса – у замкнутой системы частота колебаний выше, а темп затухания – ниже, чем у разомкнутой (рис. 3 и рис. 4).
Построим годограф Михайлова для разомкнутой и замкнутой САУ.
Для этого после размыкания ОС и выполнения расчета во временной области, нажимаем кнопку «Анализ», в выпадающем меню выбираем «Частотный анализ», и в появившейся заставке нажимаем кнопку «Годографов», затем – кнопку «Годограф Михайлова». В окне годографов появится кривая. Необходимо с помощью окна графика «Свойства» уменьшить масштаб по вертикальной и горизонтальной оси до той величины, когда положение годографа в окрестности начала координат будет подробно просматриваться.
Результат расчета для разомкнутой системы показан на рис. 7. Для замкнутой – на рис. 8.
Рис. 7 Рис. 8
Сравнивая полученные результаты можно сказать, что разомкнутая и замкнутая системы устойчивы: годографы начинаются на действительной оси и проходят через I, II и III квадранты, и в III квадранте уходят в бесконечность.
Следует отметить, что замкнутая система ближе к границе устойчивости. Этот вывод следует из того, годограф замкнутой системы проходит ближе к началу координат, чем годограф разомкнутой системы.
Отключаем обратную связь и строим годограф Найквиста. Для чего в заставке «Параметры частотного анализа» выбираем «Годографов» и нажатием на красную кнопку «+», активируем первую строку, которую заполняем, как показано на рис. 9. Затем нажимаем на кнопку «Расчет». Результат расчета показан на рис. 10.
Рис. 9 Рис. 10
Из рис. 10 следует, что годограф Найквиста не охватывает точку 
. Разомкнутая система устойчива. Следовательно, и замкнутая система будет устойчива.
Изменим параметры передаточной функции, заменив в числителе 1 на 3, что равноценно увеличению коэффициента усиления регулятора в 3 раза:
.
По критерии Гурвица разомкнутая система, как и прежде, устойчива, а замкнутая - неустойчива: 
.
Выполним описанные выше процедуры для разомкнутой и замкнутой систем.
Временные графики показаны на рис. 11 и рис. 12.
Рис. 11 Рис. 12
Неустойчивость замкнутой системы подтверждается.
Найдем корни характеристического полинома замкнутой системы (для разомкнутой системы они не изменились) и построим годограф Михайлова.
Результаты расчетов показаны на рис. 13 и рис. 14.
Рис. 13 Рис. 14
Положительная вещественная часть корней свидетельствует о неустойчивости замкнутой системы.
Годограф Михайлова, начинаясь на действительной оси, приходит из I сразу в IV квадрант, что также говорит о неустойчивости замкнутой системы.
На рис.15 в различных масштабах по осям показан годограф Найквиста для разомкнутой системы, которая устойчива.
На рис.15 видно, что годограф Найквиста устойчивой разомкнутой системы охватывает точку с координатами . Следовательно, замкнутая система неустойчива.
Рис. 15
Исследуем неустойчивую разомкнутую систему, которая может быть стабилизирована за счет введения обратной связи.
Такие случаи в практике встречаются крайне редко, так как обрыв обратной связи, приводящий к потере устойчивости объекта, чрезвычайно опасен и может грозить крупной аварией.
Причиной неустойчивости в ряде случаев может быть сам объект управления.
Тем не менее, огромный интерес представляет возможность стабилизации неустойчивых объектов и процессов с целью дальнейшего управления ими. Таких объектов и процессов вокруг великое множество, начиная от опрокинутого маятника и термоядерной реакции, и заканчивая экономическими и политическими неустойчивыми ситуациями, сложными формами заболеваний и пр. Поэтому эта тема занимает особое место в теории управления.
Пусть дана разомкнутая система с передаточной функцией вида
.
То, что разомкнутая система неустойчива, следует сразу из того, что один из коэффициентов ее характеристического полинома отрицателен.
Характеристический полином замкнутой системы будет 
.
По критерию Гурвица замкнутая система устойчива: 
.
Временные графики разомкнутой и замкнутой систем показаны соответственно на рис. 16 и рис. 17.
Рис. 16 Рис. 17
На рис. 18 и рис. 19 показаны результаты расчета корней характеристических полиномов разомкнутой и замкнутой системы соответственно.
Рис. 18 Рис. 19
Расчеты показали, что характеристический полином разомкнутой системы имеет три вещественных корня, один из которых положительный – система неустойчива.
Характеристический полином замкнутой системы имеет один отрицательный действительный корень и два комплексно-сопряженных корня с отрицательной вещественной частью – система устойчива.
На рис. 20 и рис. 21 показаны годографы Михайлова для исследуемых систем, из которых также следует, что разомкнутая система неустойчива (рис. 20), а замкнутая устойчива (рис. 21).
На рис. 22 показан годограф Найквиста для разомкнутой системы.
Рис. 20 Рис. 21
Рис. 22
Следует отметить, что при построении годографа Найквиста необходимо при расчете временного графика (или инициализации задачи) уменьшить время интегрирования со 100 с до 10 с. Это связано с переполнением разрядной сетки при вычислениях. За 100 с уход неустойчивой разомкнутой системы от состояния равновесия (или покоя) достигает огромных значений (рис. 16) и годограф Найквиста просто не будет построен.
Из анализа годографа Найквиста следует, что имеет место 
обхвата точки с координатами или перехода при 
(см. выше). А так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень, то замкнутая система будет устойчива.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Основные порталы (построено редакторами)